题目

设 X_1, X_2, X_3 是来自总体 X 的简单随机样本，则下列统计量 T_1 = (1)/(2) X_1 + (1)/(3) X_2 + (1)/(6) X_3, T_2 = (1)/(2) X_1 + (1)/(3) X_2 + (1)/(4) X_3, T_3 = (1)/(3) (X_1 + X_2 + X_3), 中，最有效的一个为 A. T_1B. T_2C. T_3D. T_1, T_2

设 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则下列统计量

$T_1 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3, T_2 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{4} X_3, T_3 = \frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3)$,

中，最有效的一个为

  • A. $T_1$
  • B. $T_2$
  • C. $T_3$
  • D. $T_1, T_2$

题目解答

答案

为了确定给定的统计量 $T_1$, $T_2$, 和 $T_3$ 中最有效的一个，我们需要检查每个统计量的无偏性，然后比较它们的方差。最有效的统计量是方差最小的无偏统计量。 ### 第一步：检查无偏性 一个统计量 $T$ 是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量，如果 $E(T) = \mu$。 #### 统计量 $T_1$: \[ T_1 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3 \] 由于 $X_1, X_2, X_3$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，我们有 $E(X_i) = \mu$ 对于 $i = 1, 2, 3$。因此， \[ E(T_1) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{6}\mu = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\mu = \mu \] 所以，$T_1$ 是无偏的。 #### 统计量 $T_2$: \[ T_2 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{4}X_3 \] 同样地， \[ E(T_2) = \frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3) = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{4}\mu = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)\mu = \frac{13}{12}\mu \] 所以，$T_2$ 是有偏的。 #### 统计量 $T_3$: \[ T_3 = \frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3) \] 同样地， \[ E(T_3) = \frac{1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3)) = \frac{1}{3}(\mu + \mu + \mu) = \mu \] 所以，$T_3$ 是无偏的。 由于 $T_2$ 是有偏的，它不能是最有效的统计量。我们剩下 $T_1$ 和 $T_3$ 来比较。 ### 第二步：比较 $T_1$ 和 $T_3$ 的方差 一个统计量的方差衡量其与期望值的离散程度。方差最小的无偏统计量是最有效的。 #### 统计量 $T_1$ 的方差： \[ \text{Var}(T_1) = \text{Var}\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2\text{Var}(X_1) + \left(\frac{1}{3}\right)^2\text{Var}(X_2) + \left(\frac{1}{6}\right)^2\text{Var}(X_3) \] 由于 $X_1, X_2, X_3$ 是独立同分布的，$\text{Var}(X_i) = \sigma^2$ 对于 $i = 1, 2, 3$。因此， \[ \text{Var}(T_1) = \left(\frac{1}{2}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2\sigma^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2\sigma^2 = \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36}\right)\sigma^2 = \left(\frac{9}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36}\right)\sigma^2 = \frac{14}{36}\sigma^2 = \frac{7}{18}\sigma^2 \] #### 统计量 $T_3$ 的方差： \[ \text{Var}(T_3) = \text{Var}\left(\frac{1}{3}(X_1 + X_2 + X_3)\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^2\text{Var}(X_1 + X_2 + X_3) = \left(\frac{1}{3}\right)^2(3\sigma^2) = \frac{1}{9} \cdot 3\sigma^2 = \frac{1}{3}\sigma^2 \] 比较方差，我们有： \[ \text{Var}(T_1) = \frac{7}{18}\sigma^2 \] \[ \text{Var}(T_3) = \frac{1}{3}\sigma^2 = \frac{6}{18}\sigma^2 \] 由于 $\frac{6}{18} < \frac{7}{18}$，$T_3$ 的方差小于 $T_1$ 的方差。因此，$T_3$ 是最有效的统计量。 答案是 $\boxed{C}$。

解析

本题考查统计量的无偏性和有效性的判断。解题思路是先根据无偏性的定义判断各个统计量是否为总体均值的无偏估计量，即计算各统计量的期望是否等于总体均值；对于无偏统计量，再根据方差的性质计算它们的方差，方差最小的无偏统计量即为最有效的统计量。

第一步：检查无偏性

设总体均值为$\mu$，总体方差为$\sigma^2$，因为$X_1, X_2, X_3$是来自总体$X$的简单随机样本，所以$E(X_i)=\mu$，$Var(X_i)=\sigma^2$，$i = 1, 2, 3$。

  • 统计量$T_1$：
    已知$T_1 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3$，根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$可得：
    $\begin{align*}E(T_1)&=E(\frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3)\\&=\frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3)\\&=\frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{6}\mu\\&=(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6})\mu\\&=\mu\end{align*}$
    所以$T_1$是无偏的。
  • 统计量$T_2$：
    已知$T_2 = \frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{4} X_3$，同理可得：
    $\begin{align*}E(T_2)&=E(\frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{4} X_3)\\&=\frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{3}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3)\\&=\frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{4}\mu\\&=(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})\mu\\&=\frac{13}{12}\mu\end{align*}$
    所以$T_2$是有偏的。
  • 统计量$T_3$：
    已知$T_3 = \frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3)$，同理可得：
    $\begin{align*}E(T_3)&=E(\frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3))\\&=\frac{1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3))\\&=\frac{1}{3}(\mu + \mu + \mu)\\&=\mu\end{align*}$
    所以$T_3$是无偏的。

由于$T_2$是有偏的，它不能是最有效的统计量，我们只需比较$T_1$和$T_3$的方差。

第二步：比较$T_1$和$T_3$的方差

根据方差的性质$Var(aX + bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)$（$X$与$Y$相互独立）。

  • 统计量$T_1$的方差：
    $\begin{align*}Var(T_1)&=Var(\frac{1}{2} X_1 + \frac{1}{3} X_2 + \frac{1}{6} X_3)\\&=(\frac{1}{2})^2Var(X_1) + (\frac{1}{3})^2Var(X_2) + (\frac{1}{6})^2Var(X_3)\\&=(\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36})\sigma^2\\&=(\frac{9}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36})\sigma^2\\&=\frac{14}{36}\sigma^2\\&=\frac{7}{18}\sigma^2\end{align*}$
  • 统计量$T_3$的方差：
    $\begin{align*}Var(T_3)&=Var(\frac{1}{3} (X_1 + X_2 + X_3))\\&=(\frac{1}{3})^2Var(X_1 + X_2 + X_3)\\&=(\frac{1}{3})^2(Var(X_1)+Var(X_2)+Var(X_3))\\&=(\frac{1}{3})^2(3\sigma^2)\\&=\frac{1}{9} \cdot 3\sigma^2\\&=\frac{1}{3}\sigma^2\\&=\frac{6}{18}\sigma^2\end{align*}$

比较$Var(T_1)$和$Var(T_3)$的大小：
因为$\frac{6}{18} < \frac{7}{18}$，即$Var(T_3) < Var(T_1)$，所以$T_3$的方差小于$T_1$的方差，$T_3$是最有效的统计量。