13 设函数f(x,y)在点(0,0)处连续且lim_((x,y)to(0,0))(f(x,y)-xy)/(x^2)+y^(2)=(1)/(2),则（）A. 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.B. 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.C. 点(0,0)不是f(x,y)的极值点.D. 根据已知条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.

考查要点：本题主要考查多元函数极值的判定方法，结合极限条件分析函数在某点的极值性质。

解题核心思路：通过题目给出的极限条件，将函数$f(x,y)$近似展开为二次多项式，构造辅助函数分析其极值性质，结合连续性判断原函数的极值情况。

破题关键点：

1. 极限条件转化：将$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-xy}{x^{2}+y^{2}}=\frac{1}{2}$转化为$f(x,y) \approx xy + \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$。
2. 构造辅助函数：定义$g(x,y) = xy + \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$，通过代数变形分析其极值性质。
3. 连续性应用：利用$f(x,y)$在$(0,0)$处的连续性，结合$g(x,y)$的极值特性，推断$f(x,y)$的极值情况。

极限条件分析

由题意，当$(x,y) \to (0,0)$时，有：
$\frac{f(x,y) - xy}{x^2 + y^2} \to \frac{1}{2},$
即：
$f(x,y) - xy \approx \frac{1}{2}(x^2 + y^2).$
因此，$f(x,y)$可以近似表示为：
$f(x,y) \approx xy + \frac{1}{2}(x^2 + y^2).$

构造辅助函数

定义辅助函数：
$g(x,y) = xy + \frac{1}{2}(x^2 + y^2).$
通过代数变形：
$g(x,y) = \frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2) = \frac{1}{2}(x + y)^2 \geq 0.$
显然，$g(x,y)$在$(0,0)$处取得最小值$0$，即$(0,0)$是$g(x,y)$的极小值点。

结合连续性判断

由于$f(x,y)$在$(0,0)$处连续，且当$(x,y) \to (0,0)$时，$f(x,y) \approx g(x,y)$，可知：

1. $f(0,0) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0$（由连续性）。
2. 在$(0,0)$附近，$f(x,y)$的值接近$g(x,y)$，而$g(x,y) \geq 0$，因此$f(x,y) \geq 0$在邻域内成立。

综上，$f(x,y)$在$(0,0)$处取得极小值。