题目
1、设总体X服从参数为N和p的二项分布，X_(1),X_(2),...,X_(n)为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计量与p的最大似然估计量。
1、设总体X服从参数为N和p的二项分布，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计量与p的最大似然估计量。
题目解答
答案
**矩估计量：**
1. **期望与方差：**
$E(X) = Np$，$D(X) = Np(1-p)$。
2. **样本矩：**
样本均值 $\overline{X}$，样本方差 $S^2$。
3. **方程组：**
\[
\begin{cases}
Np = \overline{X} \\
Np(1-p) = S^2
\end{cases}
\]
4. **解得：**
\[
\hat{N} = \frac{\overline{X}^2}{\overline{X} - S^2}, \quad \hat{p} = \frac{\overline{X} - S^2}{\overline{X}}
\]
**最大似然估计量：**
1. **似然函数：**
$L(p) = \prod_{i=1}^n \binom{N}{X_i} p^{X_i} (1-p)^{N-X_i}$。
2. **对数似然：**
求导并令为零，得
\[
\hat{p} = \frac{\overline{X}}{N}
\]
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{矩估计量：} \quad \hat{N} = \frac{\overline{X}^2}{\overline{X} - S^2}, \quad \hat{p} = \frac{\overline{X} - S^2}{\overline{X}} \\
&\text{最大似然估计量：} \quad \hat{p} = \frac{\overline{X}}{N}
\end{aligned}
}
\]
其中，$\overline{X}$ 为样本均值，$S^2$ 为样本方差。
解析
步骤 1：矩估计量
1.1 期望与方差：总体X服从参数为N和p的二项分布，其期望和方差分别为$E(X) = Np$和$D(X) = Np(1-p)$。
1.2 样本矩：样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$。
1.3 方程组：根据矩估计原理，用样本矩代替总体矩，得到方程组
\[ \begin{cases} Np = \overline{X} \\ Np(1-p) = S^2 \end{cases} \]
1.4 解得：解上述方程组，得到参数N和p的矩估计量
\[ \hat{N} = \frac{\overline{X}^2}{\overline{X} - S^2}, \quad \hat{p} = \frac{\overline{X} - S^2}{\overline{X}} \]
步骤 2：最大似然估计量
2.1 似然函数：总体X服从参数为N和p的二项分布，其似然函数为
\[ L(p) = \prod_{i=1}^n \binom{N}{X_i} p^{X_i} (1-p)^{N-X_i} \]
2.2 对数似然：对似然函数取对数，得到对数似然函数
\[ \ln L(p) = \sum_{i=1}^n \left[ \ln \binom{N}{X_i} + X_i \ln p + (N-X_i) \ln (1-p) \right] \]
2.3 求导并令为零：对对数似然函数关于p求导，并令导数为零，得到
\[ \frac{\partial \ln L(p)}{\partial p} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i}{p} - \frac{N-X_i}{1-p} \right) = 0 \]
2.4 解得：解上述方程，得到参数p的最大似然估计量
\[ \hat{p} = \frac{\overline{X}}{N} \]
1.1 期望与方差：总体X服从参数为N和p的二项分布，其期望和方差分别为$E(X) = Np$和$D(X) = Np(1-p)$。
1.2 样本矩：样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$。
1.3 方程组：根据矩估计原理，用样本矩代替总体矩，得到方程组
\[ \begin{cases} Np = \overline{X} \\ Np(1-p) = S^2 \end{cases} \]
1.4 解得：解上述方程组，得到参数N和p的矩估计量
\[ \hat{N} = \frac{\overline{X}^2}{\overline{X} - S^2}, \quad \hat{p} = \frac{\overline{X} - S^2}{\overline{X}} \]
步骤 2：最大似然估计量
2.1 似然函数：总体X服从参数为N和p的二项分布，其似然函数为
\[ L(p) = \prod_{i=1}^n \binom{N}{X_i} p^{X_i} (1-p)^{N-X_i} \]
2.2 对数似然：对似然函数取对数，得到对数似然函数
\[ \ln L(p) = \sum_{i=1}^n \left[ \ln \binom{N}{X_i} + X_i \ln p + (N-X_i) \ln (1-p) \right] \]
2.3 求导并令为零：对对数似然函数关于p求导，并令导数为零，得到
\[ \frac{\partial \ln L(p)}{\partial p} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{X_i}{p} - \frac{N-X_i}{1-p} \right) = 0 \]
2.4 解得：解上述方程，得到参数p的最大似然估计量
\[ \hat{p} = \frac{\overline{X}}{N} \]