题目

五、应用题（共40分）1.（18分）设某瓶装牛奶含钙量X（单位：克）服从正态分布即XBox N(mu,sigma^2)（1）当sigma^2=(0.04)^2时，抽取容量为16的样本，测得样本均值为overline(x)=0.78依此样本数据求μ的置信度为0.95的置信区间.（2）当sigma^2未知时，抽取容量为16的样本，测得样本均值为overline(x)=0.82，样本方差为S^2=(0.03)^2。依此样本数据检验假设H_(0)：muleqmu_(0)=0.8 检验显著水平α=0.05。（u_(0.05)=1.645,u_(0.025)=1.96,t_(0.025)(15)=2.132,t_(0.05)(15)=1.753,t_(0.05)(16)=1.746）

五、应用题（共40分） 1.（18分）设某瓶装牛奶含钙量X（单位：克）服从正态分布即$X\Box N(\mu,\sigma^{2})$ （1）当$\sigma^{2}=(0.04)^{2}$时，抽取容量为16的样本，测得样本均值为$\overline{x}=0.78$ 依此样本数据求μ的置信度为0.95的置信区间. （2）当$\sigma^{2}$未知时，抽取容量为16的样本，测得样本均值为$\overline{x}=0.82$，样本方 差为$S^{2}=(0.03)^{2}$。依此样本数据检验假设$H_{0}：\mu\leq\mu_{0}=0.8$ 检验显著水平 α=0.05。 （$u_{0.05}=1.645,u_{0.025}=1.96,t_{0.025}(15)=2.132,t_{0.05}(15)=1.753,t_{0.05}(16)=1.746$）

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们将分两部分进行：找到$\mu$的置信区间和检验假设。 ### 第一部分：当$\sigma^2 = (0.04)^2$时，找到$\mu$的置信度为0.95的置信区间 已知： - 样本均值 $\overline{x} = 0.78$ - 总体方差 $\sigma^2 = (0.04)^2 = 0.0016$ - 样本大小 $n = 16$ - 置信度 $1 - \alpha = 0.95$ 由于总体方差已知，我们使用Z区间。置信区间由下式给出： \[ \overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] 其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上$\alpha/2$分位数。对于$\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$，所以 $z_{0.025} = 1.96$。 将已知值代入公式，我们得到： \[ 0.78 \pm 1.96 \frac{0.04}{\sqrt{16}} = 0.78 \pm 1.96 \frac{0.04}{4} = 0.78 \pm 1.96 \times 0.01 = 0.78 \pm 0.0196 \] 因此，置信区间为： \[ (0.78 - 0.0196, 0.78 + 0.0196) = (0.7604, 0.7996) \] ### 第二部分：当$\sigma^2$未知时，检验假设 $H_0: \mu \leq \mu_0 = 0.8$ vs $H_1: \mu > \mu_0 = 0.8$ 已知： - 样本均值 $\overline{x} = 0.82$ - 样本方差 $s^2 = (0.03)^2 = 0.0009$ - 样本大小 $n = 16$ - 显著水平 $\alpha = 0.05$ 由于总体方差未知，我们使用t检验。检验统计量为： \[ t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \] 其中 $\mu_0 = 0.8$。将已知值代入公式，我们得到： \[ t = \frac{0.82 - 0.8}{0.03 / \sqrt{16}} = \frac{0.02}{0.03 / 4} = \frac{0.02}{0.0075} = \frac{8}{3} \approx 2.67 \] 我们与自由度为 $n-1 = 15$ 的t分布的上$\alpha$分位数进行比较。对于$\alpha = 0.05$，$t_{0.05}(15) = 1.753$。 由于 $t = 2.67 > 1.753$，我们拒绝零假设 $H_0$。因此，有足够的证据表明$\mu > 0.8$。 ### 最终答案 1. $\mu$的置信度为0.95的置信区间是 $\boxed{(0.7604, 0.7996)}$。 2. 假设检验的结论是 $\boxed{\text{拒绝 } H_0}$。

解析

本题本题考查正态分布下总体均值的置信区间估计以及假设检验的知识。解题思路如下：_

  1. 第一部分：当总体方差 $\sigma^{2}$ 已知时，求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间
    • 因为总体方差已知，所以我们使用正态分布的 Z 区间来计算置信区间。
    • 置信区间的计算公式为 $\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\overline{x}$ 是样本均值，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本容量。
    • 已知样本均值 $\overline{x}=0.78$，总体方差 $\sigma^{2}=(0.04)^{2}=0.0016$，样本容量 $n = 16$，置信度 $1 - \alpha = 0.95$，则 $\alpha = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$，对应的 $z_{0.025}=1.96$。
    • 将这些值代入公式可得：
      $\begin{align*}\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}&=0.78 \pm 1.96 \frac{0.04}{\sqrt{16}}\\&=0.78 \pm 1.96 \frac{0.04}{4}\\&=0.78 \pm 1.96 \times 0.01\\&=0.78 \pm 0.0196\end{align*}$
    • 所以置信区间为 $(0.78 - 0.0196, 0.78 + 0.0196)=(0.7604, 0.7996)$。
  2. 第二部分：当总体方差 $\sigma^{2}$ 未知时，检验假设 $H_{0}:\mu\leq\mu_{0}=0.8$
    • 因为总体方差未知，所以我们使用 t 检验。
    • 检验统计量的计算公式为 $t = \frac{\overline{x} - \mu_{0}}{s / \sqrt{n}}$，其中 $\overline{x}$ 是样本均值，$\mu_{0}$ 是假设的总体均值，$s$ 是样本标准差，$n$ 是样本容量。
    • 已知样本均值 $\overline{x}=0.82$，样本方差 $s^{2}=(0.03)^{2}=0.0009$，则样本标准差 $s = 0.03$，样本容量 $n = 16$，假设的总体均值 $\mu_{0}=0.8$。
    • 将这些值代入公式可得：
      $\begin{align*}t&=\frac{0.82 - 0.8}{0.03 / \sqrt{16}}\\&=\frac{0.02}{0.03 / 4}\\&=\frac{0.02}{0.0075}\\&=\frac{8}{3}\approx 2.67\end{align*}$
    • 我们与自由度为 $n - 1 = 16 - 1 = 15$ 的 t 分布的上 $\alpha$ 分位数进行比较。对于 $\显著水平 $\alpha = 0.05$**，对应的 $t_{0.05}(15)=1.753$。
    • 由于 $t = 2.67>1.753$，所以我们拒绝零假设 $H_{0}$。