证明：对任意正整数 n，均有 2^n + 2 > n^2。

我们要证明：对任意正整数 $ n $，都有
$2^n + 2 > n^2$

我们将通过数学归纳法来证明这个不等式对所有正整数 $ n $ 成立。

第一步：验证初始情况（基础情形）

我们从 $ n = 1 $ 开始逐个验证前几个值，确保基础成立。

• 当 $ n = 1 $：
  $2^1 + 2 = 2 + 2 = 4,\quad 1^2 = 1,\quad 4 > 1 \quad \text{成立}$

• 当 $ n = 2 $：
  $2^2 + 2 = 4 + 2 = 6,\quad 2^2 = 4,\quad 6 > 4 \quad \text{成立}$

• 当 $ n = 3 $：
  $2^3 + 2 = 8 + 2 = 10,\quad 3^2 = 9,\quad 10 > 9 \quad \text{成立}$

• 当 $ n = 4 $：
  $2^4 + 2 = 16 + 2 = 18,\quad 4^2 = 16,\quad 18 > 16 \quad \text{成立}$

• 当 $ n = 5 $：
  $2^5 + 2 = 32 + 2 = 34,\quad 5^2 = 25,\quad 34 > 25 \quad \text{成立}$

目前都成立。但我们发现，随着 $ n $ 增大，$ 2^n $ 增长得比 $ n^2 $ 快得多。不过我们仍需严谨证明对所有正整数 $ n $ 成立。

我们尝试用数学归纳法。但注意：虽然前面几个都成立，我们仍需看是否可以从某个 $ n $ 开始归纳顺利进行。

尝试从 $ n = 5 $ 开始进行归纳，因为增长趋势更明显。

第二步：数学归纳法

我们尝试证明：对所有 $ n \geq 1 $，有
$2^n + 2 > n^2$

我们使用强归纳法或普通归纳法。先尝试普通数学归纳法。

归纳基础： $ n = 1 $ 已验证成立。

归纳假设：

假设对于某个正整数 $ k \geq 1 $，不等式成立，即
$2^k + 2 > k^2$

我们要证明：
$2^{k+1} + 2 > (k+1)^2$

归纳步骤：

我们从 $ 2^{k+1} + 2 $ 出发：

$2^{k+1} + 2 = 2 \cdot 2^k + 2 = 2(2^k) + 2$

我们希望这个大于 $ (k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 $

由归纳假设：
$2^k + 2 > k^2 \quad \Rightarrow \quad 2^k > k^2 - 2$

但这可能不够强。我们尝试直接估计。

我们考虑：
$2^{k+1} + 2 = 2 \cdot 2^k + 2 = 2(2^k + 1)$

但我们换个思路：尝试比较 $ 2^{k+1} + 2 $ 和 $ (k+1)^2 $，利用归纳假设。

我们有：
$2^{k+1} + 2 = 2 \cdot 2^k + 2 = 2(2^k + 1)$

但我们知道 $ 2^k > k^2 - 2 $，代入可能不保险。

或许我们可以直接验证前几个值，然后从某个 $ n $ 开始使用归纳法，因为 $ 2^n $ 增长快于 $ n^2 $。

换一种策略：验证前5项，然后对 $ n \geq 5 $ 使用归纳法

我们已经验证 $ n = 1,2,3,4,5 $ 时不等式成立。

现在我们尝试证明：当 $ n \geq 5 $ 时，若 $ 2^n + 2 > n^2 $，则 $ 2^{n+1} + 2 > (n+1)^2 $

归纳基础（新）： $ n = 5 $ 时

$ 2^5 + 2 = 32 + 2 = 34 > 25 = 5^2 $，成立。

归纳假设：

设对某个 $ n \geq 5 $，有
$2^n + 2 > n^2$

要证：
$2^{n+1} + 2 > (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$

我们有：
$2^{n+1} + 2 = 2 \cdot 2^n + 2 = 2(2^n) + 2$

而由归纳假设：
$2^n > n^2 - 2$

代入：
$2^{n+1} + 2 > 2(n^2 - 2) + 2 = 2n^2 - 4 + 2 = 2n^2 - 2$

我们现在要证明：
$2n^2 - 2 > n^2 + 2n + 1$

即：
$2n^2 - 2 - (n^2 + 2n + 1) = n^2 - 2n - 3 > 0$

解不等式：
$n^2 - 2n - 3 > 0 \Rightarrow (n - 3)(n - 1) > 0$

这个不等式在 $ n > 3 $ 时成立。而我们现在考虑 $ n \geq 5 $，显然成立。

因此：
$2^{n+1} + 2 > 2n^2 - 2 > n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$

所以：
$2^{n+1} + 2 > (n+1)^2$

归纳步骤成立。

结论：

• 对 $ n = 1,2,3,4,5 $，不等式成立（已验证）。
• 对 $ n \geq 5 $，由数学归纳法可知，若对 $ n $ 成立，则对 $ n+1 $ 成立。
• 因此，对所有 $ n \geq 1 $，不等式 $ 2^n + 2 > n^2 $ 成立。

最终答案：

$\boxed{2^n + 2 > n^2} \quad \text{对任意正整数 } n \text{ 成立。}$

证明完成。