题目

设A为3阶矩阵，AX=0有非零解，则AX=0的基础解系中至少有______个向量.

设A为3阶矩阵，AX=0有非零解，则AX=0的基础解系中至少有______个向量.

题目解答

答案

设 $ A $ 为 3 阶矩阵，且 $ AX = 0 $ 有非零解。根据线性代数理论，$ AX = 0 $ 有非零解当且仅当矩阵 $ A $ 的秩 $ r(A) < 3 $。基础解系中向量的个数等于 $ n - r(A) $，其中 $ n $ 是矩阵的列数（即 3）。由于 $ r(A) < 3 $，故 $ n - r(A) \geq 1 $。因此，基础解系中至少有 1 个向量。 答案：1

解析

本题考查齐次线性方程组解的性质以及基础解系的相关知识。解题的关键在于理解齐次线性方程组有非零解与矩阵秩的关系，以及基础解系中向量个数的计算公式。

  1. 根据齐次线性方程组有非零解的条件确定矩阵$A$的秩的范围：
    • 对于$n$阶矩阵$A$，齐次线性方程组$AX = 0$有非零解的充要条件是矩阵$A$的秩$r(A)\lt{}n$。
    • 已知$A$为$3$阶矩阵，即$n = 3$，所以由$AX = 0$有非零解可得$r(A)\lt{}3$。
  2. 明确基础解系中向量个数的计算公式：
    • 对于$n$元齐次线性方程组$AX = 0$，其基础解系中向量的个数等于$n - r(A)$，这里$n$是矩阵$A$的列数，本题中$n = 3$，所以基础解系中向量的个数为$3 - r(A)$。
  3. 根据$r(A)$的范围确定基础解系中向量个数的最小值：
    • 因为$r(A)\lt{}3$，且矩阵的秩$r(A)$是非负整数，所以$r(A)$最大取$2$。
    • 当$r(A)=2$时，基础解系中向量的个数$3 - r(A)=3 - 2 = 1$。
    • 当$r(A)$取更小的值时，$3 - r(A)$的值会更大。所以$3 - r(A)\geq1$，即$AX = 0$的基础解系中至少有$1$个向量。