1、函数w=(1)/(z)把下列z平面上的曲线x^2+y^2=9映射成w平面上的什么曲线？

本题考查复变函数的映射问题，解题思路是先将复变函数$w = \frac{1}{z}$进行化简，再结合已知的$z$平面上的曲线方程，通过变量代换得到$w$平面上的曲线方程。

1. 将$z = x + yi$代入$w = \frac{1}{z}$并化简：
   已知$w=\frac{1}{z}$，把$z = x + yi$代入可得：
   $w = \frac{1}{x + yi}$
   为了将分母实数化，给分子分母同时乘以$x - yi$，得到：
   $w = \frac{1}{x + yi}\times\frac{x - yi}{x - yi}=\frac{x - yi}{(x + yi)(x - yi)}$
   根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，则$(x + yi)(x - yi)=x^2-(yi)^2=x^2+y^2$，所以$w = \frac{x - yi}{x^2 + y^2}$。
2. 结合曲线方程$x^2 + y^2 = 9$化简$w$：
   因为曲线方程为$x^2 + y^2 = 9$，将其代入上式可得：
   $w = \frac{x - yi}{9}=\frac{x}{9} - \frac{y}{9}i$
3. 设$w = u + vi$，建立$u$、$v$与$x$、$y$的关系：
   设$w = u + vi$，则$u + vi=\frac{x}{9} - \frac{y}{9}i$，根据复数相等的充要条件：实部与实部相等，虚部与虚部相等，可得：
   $u = \frac{x}{9}$，$v = -\frac{y}{9}$
   由此可解得$x = 9u$，$y = -9v$。
4. 将$x = 9u$，$y = -9v$代入原曲线方程$x^2 + y^2 = 9$：
   把$x = 9u$，$y = -9v$代入$x^2 + y^2 = 9$可得：
   $(9u)^2 + (-9v)^2 = 9$
   根据幂的运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，则$(9u)^2 = 9^2\times u^2 = 81u^2$，$(-9v)^2 = (-9)^2\times v^2 = 81v^2$，所以$81u^2 + 81v^2 = 9$，提取公因式$81$可得$81(u^2 + v^2) = 9$，两边同时除以$81$得：
   $u^2 + v^2 = \frac{9}{81}=\frac{1}{9}$
   在复平面中，$u^2 + v^2 = |w|^2$，所以$|w|^2 = \frac{1}{9}$，则$|w| = \frac{1}{3}$，这表示$w$平面上圆心在原点、半径为$\frac{1}{3}$的圆。