题目
设 X_1, X_2, ..., X_n 为来自总体 N(0, sigma^2) 的样本，overline(X) 和 S^2 分别为样本均值和样本方差，则统计量 (sqrt(n) overline(X))/(S) 服从(）分布。A. N(0, 1)B. chi^2(n-1)C. F(n, n-1)D. t(n-1)
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，$\overline{X}$ 和 $S^2$ 分别为样本均值和样本方差，则统计量 $\frac{\sqrt{n} \ \overline{X}}{S}$ 服从(）分布。
A. $N(0, 1)$
B. $\chi^2(n-1)$
C. $F(n, n-1)$
D. $t(n-1)$
题目解答
答案
D. $t(n-1)$
解析
步骤 1：样本均值的分布
样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，因为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本。标准化后，$\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
步骤 2：样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 满足 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，因为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本。
步骤 3：t 分布的定义
根据 t 分布的定义，当 $Z \sim N(0, 1)$ 且 $U \sim \chi^2(m)$ 独立时，$\frac{Z}{\sqrt{U/m}}$ 服从 $t(m)$ 分布。令 $Z = \frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma}$，$U = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，则 $\frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}} = \frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$。
样本均值 $\overline{X}$ 服从 $N\left(0, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，因为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本。标准化后，$\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma} \sim N(0, 1)$。
步骤 2：样本方差的分布
样本方差 $S^2$ 满足 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，因为 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本。
步骤 3：t 分布的定义
根据 t 分布的定义，当 $Z \sim N(0, 1)$ 且 $U \sim \chi^2(m)$ 独立时，$\frac{Z}{\sqrt{U/m}}$ 服从 $t(m)$ 分布。令 $Z = \frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma}$，$U = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，则 $\frac{Z}{\sqrt{U/(n-1)}} = \frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$。