某实验室将同一钢铁样品送给甲、乙两处进行锰含量测定，在分析方案相同、实验室条件相同的条件下，两处测定的结果如下：甲处：0.725%，0.772%，0.730%，0.755%，0.768%，0.809%乙处：0.705%，0.722%，0.730%，0.725%，0.718%，0.729%通过对标准偏差和相对平均偏差计算判断哪处的分析结果较好？说明原因。

本题考查的知识点是标准偏差和相对平均偏差的计算，以及通过这两个统计量来评价分析结果的精密度。解题思路是先分别计算甲、乙两处测定结果的平均值，再根据平均值计算标准偏差，最后根据平均值和标准偏差计算相对平均偏差，通过比较两处的标准偏差和相对平均偏差大小来判断哪处的分析结果更好。

甲处数据的计算

1. 计算甲处测定结果的平均值$\bar{x}_{\text{甲}}$
   平均值的计算公式为$\bar{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$，其中$x_{i}$是第$i$个测量值，$n$是测量次数。
   甲处的测量值分别为$x_{1}=0.725\%$，$x_{2}=0.772\%$，$x_{3}=0.730\%$，$x_{4}=0.755\%$，$x_{5}=0.768\%$，$x_{6}=0.809\%$，测量次数$n = 6$。
   则$\bar{x}_{\text{甲}}=\frac{0.725\% + 0.772\% + 0.730\% + 0.755\% + 0.768\% + 0.809\%}{6}$
   $=\frac{4.569\%}{6}=0.760\%$
2. 计算甲处测定结果的标准偏差$s_{\text{甲}}$
   标准偏差的计算公式为$s=\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n - 1}}$。
   $(x_{1}-\bar{x}_{\text{甲}})=(0.725\% - 0.760\%)=-0.035\%$
   $(x_{2}-\bar{x}_{\text{甲}})=(0.772\% - 0.760\%)=0.012\%$
   $(x_{3}-\bar{x}_{\text{甲}})=(0.730\% - 0.760\%)=-0.030\%$
   $(x_{4}-\bar{x}_{\text{甲}})=(0.755\% - 0.760\%)=-0.005\%$
   $(x_{5}-\bar{x}_{\text{甲}})=(0.768\% - 0.760\%)=0.008\%$
   $(x_{6}-\bar{x}_{\text{甲}})=(0.809\% - 0.760\%)=0.049\%$
   $\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x}_{\text{甲}})^{2}=(-0.035\%)^{2}+(0.012\%)^{2}+(-0.030\%)^{2}+(-0.005\%)^{2}+(0.008\%)^{2}+(0.049\%)^{2}$
   $=0.001225\%^{2}+0.000144\%^{2}+0.0009\%^{2}+0.000025\%^{2}+0.000064\%^{2}+0.002401\%^{2}$
   $=0.00476\%^{2}$
   则$s_{\text{甲}}=\sqrt{\frac{0.00476\%^{2}}{6 - 1}}=\sqrt{0.000952\%^{2}}\approx0.031\%$
3. 计算甲处测定结果的相对平均偏差$\delta_{\text{甲}}$
   相对平均偏差的计算公式为$\delta=\frac{s}{\bar{x}}\times100\%$。
   则$\delta_{\text{甲}}=\frac{0.031\%}{0.760\%}\times100\%\approx3.05\%$

乙处数据的计算

1. 计算乙处测定结果的平均值$\bar{x}_{\text{乙}}$
   乙处的测量值分别为$y_{1}=0.705\%$，$y_{2}=0.722\%$，$y_{3}=0.730\%$，$y_{4}=0.725\%$，$y_{5}=0.718\%$，$y_{6}=0.729\%$，测量次数$n = 6$。
   则$\bar{x}_{\text{乙}}=\frac{0.705\% + 0.722\% + 0.730\% + 0.725\% + 0.718\% + 0.729\%}{6}$
   $=\frac{4.339\%}{6}=0.722\%$
2. 计算乙处测定结果的标准偏差$s_{\text{乙}}$
   $(y_{1}-\bar{x}_{\text{乙}})=(0.705\% - 0.722\%)=-0.017\%$
   $(y_{2}-\bar{x}_{\text{乙}})=(0.722\% - 0.722\%)=0\%$
   $(y_{3}-\bar{x}_{\text{乙}})=(0.730\% - 0.722\%)=0.008\%$
   $(y_{4}-\bar{x}_{\text{乙}})=(0.725\% - 0.722\%)=0.003\%$
   $(y_{5}-\bar{x}_{\text{乙}})=(0.718\% - 0.722\%)=-0.004\%$
   $(y_{6}-\bar{x}_{\text{乙}})=(0.729\% - 0.722\%)=0.007\%$
   $\sum_{i = 1}^{6}(y_{i}-\bar{x}_{\text{乙}})^{2}=(-0.017\%)^{2}+0^{2}+(0.008\%)^{2}+(0.003\%)^{2}+(-0.004\%)^{2}+(0.007\%)^{2}$
   $=0.000289\%^{2}+0+0.000064\%^{2}+0.000009\%^{2}+0.000016\%^{2}+0.000049\%^{2}$
   $=0.000437\%^{2}$
   则$s_{\text{乙}}=\sqrt{\frac{0.000437\%^{2}}{6 - 1}}=\sqrt{0.0000874\%^{2}}\approx0.009\%$
3. 计算乙处测定结果的相对平均偏差$\delta_{\text{乙}}$
   则$\delta_{\text{乙}}=\frac{0.009\%}{0.722\%}\times100\%\approx0.90\%$

结果比较

比较甲、乙两处的标准偏差和相对平均偏差，$s_{\text{乙}} \lt s_{\text{甲}}$，且$\delta_{\text{乙}} \lt \delta_{\text{甲}}$，说明乙处数据更集中，精密度更高。