4.单选题 若lim_(ntoinfty)(1-2x)^n存在，则x的取值范围为（）。A. (0，1)B. [0，1)C. [0，1]D. (-∞,0]∪[1,+∞)

考查要点：本题主要考查数列极限存在的条件，特别是形如$a^n$的极限存在性问题。关键在于分析底数$a$的绝对值范围。

解题核心思路：
当$n \to \infty$时，$\lim_{n \to \infty} a^n$存在的条件是$|a| \leq 1$，但需注意：

• 若$|a| < 1$，则极限为$0$；
• 若$a = 1$，则极限为$1$；
• 若$a = -1$，则极限不存在（震荡）；
• 若$|a| > 1$，则极限不存在（趋向无穷）。

破题关键：
将题目中的底数$1-2x$代入上述条件，分情况讨论其绝对值范围，并求解$x$的取值范围。

分析底数的绝对值范围

设$a = 1 - 2x$，则$\lim_{n \to \infty} a^n$存在的条件为：

1. $|a| < 1$：此时极限为$0$；
2. $a = 1$：此时极限为$1$；
3. $a = -1$或$|a| > 1$：此时极限不存在。

情况1：$|1 - 2x| < 1$

解不等式：
$-1 < 1 - 2x < 1$

• 左半部分：$-1 < 1 - 2x \implies -2 < -2x \implies x < 1$；
• 右半部分：$1 - 2x < 1 \implies -2x < 0 \implies x > 0$；
• 综上，$0 < x < 1$。

情况2：$1 - 2x = 1$

解得$x = 0$，此时$(1 - 2x)^n = 1^n = 1$，极限存在。

情况3：$1 - 2x = -1$或$|1 - 2x| > 1$

• 若$1 - 2x = -1$，则$x = 1$，此时$(-1)^n$极限不存在；
• 若$|1 - 2x| > 1$，则$x < 0$或$x > 1$，此时$a^n$趋向无穷或震荡，极限不存在。

综合结果

$x$的取值范围为$[0, 1)$。