12.设有一长为6m的梯子靠在墙角,梯子底部离墙角的距离为5m(如-|||-图).在某一时刻,它的底部开始滑离,其水平速度为 .2m/s. 问:-|||-y(t)↑ y-|||-θ,-|||-x(t) x-|||-第12题图-|||-(1)梯子顶部下滑的速度是多少?-|||-(2)由梯子、墙面线、地面线所构成的三角形的面积以怎样的速度变化?-|||-(3)梯子和地面的夹角θ以怎样的速度变化?

步骤 1：确定梯子顶部下滑的速度
根据题意，梯子的长度为6m，底部离墙角的距离为5m。设梯子顶部离地面的距离为y(t)，底部离墙角的距离为x(t)。根据勾股定理，有：
\[ x(t)^2 + y(t)^2 = 6^2 \]
对时间t求导，得到：
\[ 2x(t)x'(t) + 2y(t)y'(t) = 0 \]
已知x'(t) = 0.2m/s，代入上式，得到：
\[ 2 \times 5 \times 0.2 + 2y(t)y'(t) = 0 \]
解得：
\[ y'(t) = -\frac{1}{\sqrt{11}}m/s \]
步骤 2：确定三角形面积变化的速度
三角形的面积S(t)为：
\[ S(t) = \frac{1}{2}x(t)y(t) \]
对时间t求导，得到：
\[ S'(t) = \frac{1}{2}[x'(t)y(t) + x(t)y'(t)] \]
代入x'(t) = 0.2m/s，y'(t) = -\frac{1}{\sqrt{11}}m/s，得到：
\[ S'(t) = \frac{1}{2}[0.2y(t) + x(t)(-\frac{1}{\sqrt{11}})] \]
代入x(t) = 5m，y(t) = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{11}m，得到：
\[ S'(t) = \frac{1}{2}[0.2\sqrt{11} + 5(-\frac{1}{\sqrt{11}})] = -0.36m^2/s \]
步骤 3：确定梯子和地面夹角θ变化的速度
根据题意，梯子和地面的夹角θ满足：
\[ \tan(\theta) = \frac{y(t)}{x(t)} \]
对时间t求导，得到：
\[ \sec^2(\theta)\theta'(t) = \frac{x(t)y'(t) - y(t)x'(t)}{x(t)^2} \]
代入x(t) = 5m，y(t) = \sqrt{11}m，x'(t) = 0.2m/s，y'(t) = -\frac{1}{\sqrt{11}}m/s，得到：
\[ \sec^2(\theta)\theta'(t) = \frac{5(-\frac{1}{\sqrt{11}}) - \sqrt{11}(0.2)}{5^2} = -0.087(rad/s) \]