一家食品店有A,B,C三种不同价格的蛋糕出售,售价分别为1元,1.5元,2元.顾客购买哪一种蛋糕是随机的,因而每次售出一种蛋糕的收入是一个随机变量,假设顾客购买A,B,C三种蛋糕的概率分别为0.3,0.4,0.3,已知售出300个蛋糕,(1)求收入至少435元的概率;(2)求售出价格2元的蛋糕多于90只的概率.

步骤 1：计算单个蛋糕的期望收入
根据题目，顾客购买A,B,C三种蛋糕的概率分别为0.3,0.4,0.3，售价分别为1元,1.5元,2元。因此，单个蛋糕的期望收入为：
$E(X) = 1 \times 0.3 + 1.5 \times 0.4 + 2 \times 0.3 = 1.5$元
步骤 2：计算单个蛋糕的方差
单个蛋糕的方差计算如下：
$E(X^2) = 1^2 \times 0.3 + 1.5^2 \times 0.4 + 2^2 \times 0.3 = 2.4$
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.4 - 1.5^2 = 0.15$
步骤 3：计算售出300个蛋糕的期望收入和方差
售出300个蛋糕的期望收入为：
$E(300X) = 300 \times E(X) = 300 \times 1.5 = 450$元
售出300个蛋糕的方差为：
$D(300X) = 300 \times D(X) = 300 \times 0.15 = 45$
步骤 4：计算收入至少435元的概率
根据中心极限定理，售出300个蛋糕的收入近似服从正态分布$N(450, 45)$。因此，收入至少435元的概率为：
$P(X \geq 435) = P\left(\frac{X - 450}{\sqrt{45}} \geq \frac{435 - 450}{\sqrt{45}}\right) = P(Z \geq -0.559) = 1 - \Phi(-0.559) = \Phi(0.559) = 0.712$
步骤 5：计算售出价格2元的蛋糕多于90只的概率
售出价格2元的蛋糕数量服从二项分布$B(300, 0.3)$。因此，期望值和方差分别为：
$E(Y) = 300 \times 0.3 = 90$
$D(Y) = 300 \times 0.3 \times 0.7 = 63$
根据中心极限定理，售出价格2元的蛋糕数量近似服从正态分布$N(90, 63)$。因此，售出价格2元的蛋糕多于90只的概率为：
$P(Y > 90) = P\left(\frac{Y - 90}{\sqrt{63}} > 0\right) = 1 - \Phi(0) = 0.5$