40.（单选题，2.5分）设随机变量X_(1),X_(2),... X_(50)相互独立，且X_(i)服从以0.1为参数的泊松分布，i=1,2,…50，则sum_(i=1)^50X_(i)近似服从（）A. N(5,5)B. N((1)/(5),(1)/(5))C. N(5,(1)/(5))D. N(0.1,(1)/(500))

本题考查知识点为独立同分布的中心极限定理以及泊松分布的期望和方差方差。解题思路是先根据泊松分布的性质求出单个随机变量的期望和方差，再利用期望和的期望与方差的性质求出$\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$的期望和方差，最后根据中心极限定理得出$\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$近似服从的正态分布。

1. 求单个随机变量$X_i$的期望和方差：
   已知$X_{i}$服从以$0.1$为参数的泊松分布，根据泊松分布的性质，若随机变量$Y$服从参数为$\lambda$的泊松分布，记为$Y\sim P(\lambda)$，则其期望$E(Y)=\lambda$，方差$D(Y)=\lambda$。
   所以对于$X_{i}\sim P(0.1)$，有$E(X(X(X_{i}) = 0.1$，$D(X_{i}) = 0.1$，$i = 1,2,\cdots,50$。
2. $\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$的期望和方差：
   • 期望：根据期望的性质，若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，则$E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})}$。
     所以$E(\sum_{i = 1}^{50}X_{i})=\sum_{i = 1}^{50}E(X_{i}) = 50\times0.1 = 5$。
   • 方差：**根据方差的性质，若$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，则$D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})$。
     所以$\(\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$)=$\sum_{i = 1}^{50}D(X_{i}) = 50\times0.1 = 5$。
3. 根据中心极限定理确定近似分布：
   由独立同分布的中心极限定理表明，设随机变量$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：$E(X_{i})=\mu$，$D(X_{i})=\sigma^{2\neq0$，$i = 1,2,\cdots,n$，则当$n$充分大时，$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$近似服从正态分布$N(n\mu,n\sigma^{2})$}))。
   本题中$n = 50$，$\mu = 0.1$，$\sigma^{2 = 0.1$，所以$\sum_{i = 1}^{50}X_{i}$近似服从$N(50\times0.1,50\times0.1)=N(5,5)$。