49.已知 p>1, (1)/(p)+ (1)/(q)=1,x,y>0. 求证：xy≤ (x^p)/(p)+ (y^q)/(q).

**证明：** 1. **利用对数函数的凹性：** 对数函数 $f(t) = \ln t$ 在 $t > 0$ 时为凹函数，满足詹森不等式： \[ \ln \left( \frac{1}{p} x^p + \frac{1}{q} y^q \right) \geq \frac{1}{p} \ln x^p + \frac{1}{q} \ln y^q = \ln x + \ln y = \ln (xy) \] 两边取指数得： \[ \frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q} \geq xy \] 2. **利用拉格朗日乘数法：** 构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = xy + \lambda \left( \frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q} - k \right)$，求解得唯一驻点 $x = k^{1/p}$，$y = k^{1/q}$，此时 $xy = k$，故： \[ xy \leq k = \frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q} \] **结论：** \[ \boxed{xy \leq \frac{x^p}{p} + \frac{y^q}{q}} \]