题目

曲线y=e^(1)/(x)的水平渐近线为____

曲线$y=e^{\frac{1}{x}}$的水平渐近线为____

题目解答

答案

当 $ x \to \infty $（无论正负无穷大），则 $ \frac{1}{x} \to 0 $。 因此， \[ \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1. \] 故曲线 $ y = e^{\frac{1}{x}} $ 的水平渐近线为 $\boxed{y=1}$。

解析

本题考察曲线水平渐近线的求解，关键是理解水平渐近线的定义：若函数$y=f(x)$满足$\lim_{x \to \infty}f(x)=C$（$C$为常数），则$y=C$是曲线$y=f(x)$的水平渐近线。

具体解题过程：

  1. 分析极限趋势：对于函数$y=e^{\frac{1}{x}}$，需计算$x \to \infty$时的极限（$x\to+\infty$和$x\to-\infty$均需考虑）。
  2. 化简指数部分：当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此指数$\frac{1}{x}$的极限为0。
  3. 计算指数函数极限：根据指数函数的连续性，$\lim_{x \to \infty}e^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}}=e^0=1$。
  4. 结论：由于$\lim_{x \to \infty}e^{\frac{1}{x}}=1$，故曲线$y=e^{\frac{1}{x}}$的水平渐近线为$y=1$。