题目
假设总体 X 服从参数为 lambda 的泊松分布，则参数为 lambda 的最大似然估计量是(）A. noverline(X)B. maxX_1,...,X_nC. (n-1)S^2D. overline(X)
假设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，则参数为 $\lambda$ 的最大似然估计量是(）
A. $n\overline{X}$
B. $\max\{X_1,\cdots,X_n\}$
C. $(n-1)S^2$
D. $\overline{X}$
题目解答
答案
D. $\overline{X}$
解析
步骤 1：泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$，其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数，表示事件发生的平均次数。
步骤 2：似然函数
对于样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数为： \[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{X_i}}{X_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum X_i}}{\prod X_i!} \]
步骤 3：对数似然函数
取对数得： \[ \ell(\lambda) = -n\lambda + \left( \sum X_i \right) \ln \lambda - \ln \left( \prod X_i! \right) \]
步骤 4：求导并令其为零
求导并令其为零： \[ \frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = -n + \frac{\sum X_i}{\lambda} = 0 \]
步骤 5：解方程
解得： \[ \lambda = \frac{\sum X_i}{n} = \overline{X} \]
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$，其中 $\lambda$ 是泊松分布的参数，表示事件发生的平均次数。
步骤 2：似然函数
对于样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，似然函数为： \[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{X_i}}{X_i!} = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum X_i}}{\prod X_i!} \]
步骤 3：对数似然函数
取对数得： \[ \ell(\lambda) = -n\lambda + \left( \sum X_i \right) \ln \lambda - \ln \left( \prod X_i! \right) \]
步骤 4：求导并令其为零
求导并令其为零： \[ \frac{d\ell(\lambda)}{d\lambda} = -n + \frac{\sum X_i}{\lambda} = 0 \]
步骤 5：解方程
解得： \[ \lambda = \frac{\sum X_i}{n} = \overline{X} \]