15.(2019课标全国I文,18,12分)记Sn为等差数列-|||-(an)的前n项和已知 _(9)=-(a)_(s)-|||-(1)若 _(3)=4 求(an)的通项公式;-|||-(2)若 _(1)gt 0, 求使得 _(n)geqslant (a)_(n) 的n的取值范围.

考查要点：本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，以及利用不等式求解参数范围的能力。
解题思路：

1. 第一问：利用已知条件$S_9 = -a_5$和$a_3 = 4$，联立方程求出首项$a_1$和公差$d$，进而写出通项公式。
2. 第二问：结合$a_1 > 0$的条件，将$S_n \geq a_n$转化为关于$n$的二次不等式，通过分析二次函数的性质确定解集范围。
   关键点：

• 等差数列基本公式的灵活运用；
• 不等式方向与公差符号的关系；
• 整数解的合理筛选。

第（1）题

设公差为$d$

根据等差数列前$n$项和公式：
$S_9 = \frac{9}{2} \left[2a_1 + 8d\right] = 9(a_1 + 4d)$
根据通项公式：
$a_5 = a_1 + 4d$
由题意$S_9 = -a_5$，得：
$9(a_1 + 4d) = -(a_1 + 4d)$
整理得：
$a_1 + 4d = 0 \quad \text{（因$9 \neq -1$，故$a_1 + 4d = 0$）}$

利用$a_3 = 4$

由通项公式：
$a_3 = a_1 + 2d = 4$

联立方程组

$\begin{cases}a_1 + 4d = 0 \\a_1 + 2d = 4\end{cases}$
解得：
$a_1 = 8, \quad d = -2$

通项公式

$a_n = a_1 + (n-1)d = 8 + (n-1)(-2) = 10 - 2n$

第（2）题

关系推导

由（1）知$a_1 = -4d$，代入通项公式：
$a_n = a_1 + (n-1)d = -4d + (n-1)d = (n-5)d$
前$n$项和公式：
$S_n = \frac{n}{2} \left[2a_1 + (n-1)d\right] = \frac{n}{2} \left[-8d + (n-1)d\right] = \frac{n(n-9)d}{2}$

不等式转化

由$a_1 > 0$得$d < 0$，不等式$S_n \geq a_n$等价于：
$\frac{n(n-9)d}{2} \geq (n-5)d$
两边同乘$\frac{2}{d}$（注意$d < 0$，不等号方向改变）：
$n(n-9) \leq 2(n-5)$
整理得：
$n^2 - 11n + 10 \leq 0$

解二次不等式

方程$n^2 - 11n + 10 = 0$的根为$n = 1$和$n = 10$，抛物线开口向上，故解集为：
$1 \leq n \leq 10$
结合$n \in \mathbb{N}$，得$n$的取值范围为$1, 2, \dots, 10$。