题目

3.[填空题]X与Y相互独立，且都与N(0,9)同分布，X_(1)，X_(2)，…，X_(9)和Y_(1)，Y_(2)，…，Y_(9)分别是来自总体X，Y的样本，已知Z=(sum_(i=1)^9X_(i))/(sqrt(sum_(i=1)^9)Y_{i^2)}则Z服从____分布.

3.[填空题] X与Y相互独立，且都与N(0,9)同分布，$X_{1}$，$X_{2}$，…，$X_{9}$和$Y_{1}$，$Y_{2}$，…，$Y_{9}$分别是来自总体X，Y的样本，已知$Z=\frac{\sum_{i=1}^{9}X_{i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{9}Y_{i}^{2}}}$则Z服从____分布.

题目解答

答案

为了确定随机变量 $ Z = \frac{\sum_{i=1}^{9}X_{i}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{9}Y_{i}^{2}}} $ 的分布，我们需要分析分子和分母的分布，然后使用它们的性质。 1. **分子的分布：** $ X_1, X_2, \ldots, X_9 $ 是来自正态分布 $ N(0, 9) $ 的样本。样本均值 $ \sum_{i=1}^{9}X_i $ 也是正态分布的，均值为 $ 9 \cdot 0 = 0 $，方差为 $ 9 \cdot 9 = 81 $。因此，$ \sum_{i=1}^{9}X_i \sim N(0, 81) $。 为了标准化这个正态分布，我们除以标准差 $ \sqrt{81} = 9 $： \[ \frac{\sum_{i=1}^{9}X_i}{9} \sim N(0, 1). \] 所以，分子 $ \sum_{i=1}^{9}X_i $ 可以写成 $ 9 \cdot N(0, 1) $。 2. **分母的分布：** $ Y_1, Y_2, \ldots, Y_9 $ 是来自正态分布 $ N(0, 9) $ 的样本。每个 $ Y_i^2 $ 服从自由度为1的卡方分布，缩放因子为 $ 9 $（即，$ \frac{Y_i^2}{9} \sim \chi^2(1) $）。因此，和 $ \sum_{i=1}^{9}Y_i^2 $ 服从自由度为9的卡方分布，缩放因子为 $ 9 $： \[ \frac{\sum_{i=1}^{9}Y_i^2}{9} \sim \chi^2(9). \] 所以，分母 $ \sqrt{\sum_{i=1}^{9}Y_i^2} $ 可以写成 $ 3 \sqrt{\chi^2(9)} $。 3. **组合分子和分母：** 现在，我们将分子和分母代入 $ Z $ 的表达式中： \[ Z = \frac{\sum_{i=1}^{9}X_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{9}Y_i^2}} = \frac{9 \cdot N(0, 1)}{3 \sqrt{\chi^2(9)}} = \frac{3 \cdot N(0, 1)}{\sqrt{\chi^2(9)}}. \] 一个标准正态随机变量与自由度为 $ n $ 的卡方随机变量的平方根的比值服从自由度为 $ n $ 的t分布。这里，标准正态随机变量是 $ N(0, 1) $，自由度为9的卡方随机变量的平方根是 $ \sqrt{\chi^2(9)} $。因此，$ \frac{N(0, 1)}{\sqrt{\chi^2(9)/9}} $ 服从自由度为9的t分布。 由于 $ \frac{N(0, 1)}{\sqrt{\chi^2(9)/9}} = \frac{N(0, 1) \cdot 3}{\sqrt{\chi^2(9)}} $，我们看到 $ Z $ 正好是这个表达式，所以 $ Z $ 服从自由度为9的t分布。 因此，$ Z $ 的分布是 $\boxed{t(9)}$。

解析

考查要点：本题主要考查正态分布、卡方分布、t分布的性质及其组合关系，以及独立随机变量的函数分布推导。

解题核心思路：

  1. 分子部分：$\sum X_i$ 是正态变量的和，需标准化为标准正态分布。
  2. 分母部分：$\sum Y_i^2$ 是卡方分布的缩放形式，需提取自由度和缩放因子。
  3. 组合关系：分子为标准正态变量，分母为卡方分布的平方根，符合t分布的定义。

破题关键点：

  • 独立性：X与Y独立，分子分母独立。
  • 标准化处理：将分子和分母分别转化为标准正态变量和卡方分布的标准形式。

分析分子 $\sum_{i=1}^{9} X_i$

  1. 正态分布性质：
    $X_i \sim N(0, 9)$，独立同分布，故 $\sum_{i=1}^{9} X_i \sim N(0, 9 \times 9) = N(0, 81)$。
  2. 标准化：
    $\frac{\sum X_i}{\sqrt{81}} = \frac{\sum X_i}{9} \sim N(0, 1)$，即分子可表示为 $9 \cdot N(0, 1)$。

分析分母 $\sqrt{\sum_{i=1}^{9} Y_i^2}$

  1. 卡方分布性质：
    $Y_i \sim N(0, 9)$，故 $\frac{Y_i^2}{9} \sim \chi^2(1)$，独立同分布。
    $\sum_{i=1}^{9} \frac{Y_i^2}{9} \sim \chi^2(9)$，即 $\sum Y_i^2 = 9 \cdot \chi^2(9)$。
  2. 分母表达式：
    $\sqrt{\sum Y_i^2} = \sqrt{9 \cdot \chi^2(9)} = 3 \sqrt{\chi^2(9)}$。

组合分子与分母

  1. 代入Z的表达式：
    $Z = \frac{9 \cdot N(0, 1)}{3 \sqrt{\chi^2(9)}} = \frac{3 \cdot N(0, 1)}{\sqrt{\chi^2(9)}}.$
  2. t分布定义：
    标准正态变量 $N(0, 1)$ 与 $\sqrt{\chi^2(n)/n}$ 的比值服从 $t(n)$ 分布。
    本题中，分母可改写为 $\sqrt{\chi^2(9)} = \sqrt{9 \cdot \chi^2(9)/9}$，因此：
    $Z = \frac{N(0, 1)}{\sqrt{\chi^2(9)/9}} \cdot 3 \div 3 = \frac{N(0, 1)}{\sqrt{\chi^2(9)/9}} \sim t(9).$