6.证明:设f(x)是定义在R上的函数,且对任意的x1, _(2)in R, 都有 ((x)_(1)+(x)_(2))=f((x)_(1))f((x)_(2)),-|||-且 '(0)=1. 证明:对 forall xin R 都有 '(x)=f(x).

考查要点：本题主要考查函数的导数性质与函数方程的结合应用，需要学生掌握导数的定义及函数方程的处理方法。

解题核心思路：

1. 分类讨论：首先通过函数方程确定$f(0)$的可能取值，分情况讨论。
2. 导数定义：利用导数的定义式，结合函数方程$f(x_1 + x_2) = f(x_1)f(x_2)$，将导数表达式转化为与$f'(0)$相关的形式。
3. 极限运算：通过极限运算将导数表达式简化，最终得到$f'(x) = f(x)$。

破题关键点：

• 确定$f(0)$的值：通过令$x_1 = x_2 = 0$代入函数方程，得到$f(0) = 0$或$f(0) = 1$。
• 分情况处理：若$f(0) = 0$，函数恒为零，结论显然成立；若$f(0) = 1$，利用导数定义和函数方程推导$f'(x)$。

情况1：$f(0) = 0$

1. 函数恒为零：
   对任意$x \in \mathbb{R}$，令$x_2 = 0$，则$f(x) = f(x + 0) = f(x)f(0) = f(x) \cdot 0 = 0$。
   因此，$f(x) = 0$对所有$x$成立，此时$f'(x) = 0 = f(x)$，结论成立。

情况2：$f(0) = 1$

1. 导数定义：
   根据导数定义，
   $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}.$
2. 代入函数方程：
   由$f(x + \Delta x) = f(x)f(\Delta x)$，得
   $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x)f(\Delta x) - f(x)}{\Delta x} = f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - 1}{\Delta x}.$
3. 极限化简：
   注意到$f(0) = 1$，故
   $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x) - f(0)}{\Delta x} = f'(0) = 1.$
4. 最终结论：
   代入得$f'(x) = f(x) \cdot 1 = f(x)$。