题目

2【判断题】单正态总体N(μ,σ²)中，σ²已知，则μ的置信度为1-α的双侧置信区间为(overline(x)±Z_((alpha)/(2))(sigma)/(sqrt(n)))。()bigcirc对 bigcirc错

2【判断题】单正态总体N(μ,σ²)中，σ²已知，则μ的置信度为1-α的双侧置信区间为($\overline{x}$±Z$_{\frac{\alpha}{2}}$$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$)。() $\bigcirc$对 $\bigcirc$错

题目解答

答案

对于单正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，当 $\sigma^2$ 已知时，样本均值 $\overline{X}$ 的标准化形式为： \[ Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1) \] 置信度为 $1-\alpha$ 的双侧置信区间满足： \[ P\left(-Z_{\alpha/2} \leq \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq Z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha \] 解得： \[ \mu \in \left(\overline{X} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \] 即 $\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。题目中公式正确，故答案为 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查单正态总体均值的置信区间构造方法，重点在于区分总体方差已知与未知时的不同处理方式。

解题核心思路：
当总体服从正态分布且方差$\sigma^2$已知时，样本均值$\overline{X}$的标准化形式服从标准正态分布$N(0,1)$，由此可构造双侧置信区间。关键在于正确应用标准正态分布的分位数$Z_{\alpha/2}$，并推导出$\mu$的范围。

破题关键点：

标准化统计量：确认$\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
分位数选择：双侧置信度为$1-\alpha$时，分位数为$Z_{\alpha/2}$。
区间形式：通过不等式变形，最终得到$\mu$的置信区间为$\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

步骤1：标准化样本均值
已知总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本均值$\overline{X}$的分布为$N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。标准化后得：
$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1).$

步骤2：构造置信区间
置信度为$1-\alpha$时，需找到$Z_{\alpha/2}$使得：
$P\left(-Z_{\alpha/2} \leq Z \leq Z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha.$

步骤3：解不等式求$\mu$
将标准化形式代入不等式：
$-Z_{\alpha/2} \leq \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq Z_{\alpha/2}.$
两边同乘$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$并移项，得：
$\overline{X} - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X} + Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$
即$\mu$的置信区间为：
$\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$

结论：题目中的公式正确，答案为对。