题目

总体X服从a到2a区间上的均匀分布，即X~U(a，2a)，这里a是一个未知正数，样本(X1，…，X5)观察值为(1.3，1.9，1.7，1.5，1.1)；如果令经验一阶原点矩等于总体一阶原点矩，那么我们可以得到a的矩估计值是( )

题目解答

答案

为了找到 $a$ 的矩估计值，我们需要将经验一阶原点矩（即样本均值）等于总体一阶原点矩（即总体均值）。首先，我们计算样本均值。样本观察值为 $ (1.3, 1.9, 1.7, 1.5, 1.1) $。样本均值 $\bar{X}$ 由下式给出： \[ \bar{X} = \frac{1.3 + 1.9 + 1.7 + 1.5 + 1.1}{5} = \frac{7.5}{5} = 1.5 \] 接下来，我们找到总体均值。由于 $X$ 服从 $a$ 到 $2a$ 区间上的均匀分布，总体均值 $\mu$ 为： \[ \mu = \frac{a + 2a}{2} = \frac{3a}{2} \] 我们将经验一阶原点矩等于总体一阶原点矩： \[ \bar{X} = \mu \] \[ 1.5 = \frac{3a}{2} \] 为了解出 $a$，我们解方程： \[ 1.5 = \frac{3a}{2} \] \[ 1.5 \times 2 = 3a \] \[ 3 = 3a \] \[ a = 1 \] 因此，$a$ 的矩估计值是 $\boxed{1}$。

解析

考查要点：本题主要考查均匀分布的矩估计法的应用，需要理解经验矩等于总体矩的核心思想，并掌握均匀分布的均值计算方法。

解题思路：

明确总体均值：均匀分布$U(a, 2a)$的均值为$\frac{a + 2a}{2} = \frac{3a}{2}$。
计算样本均值：将样本数据求和后除以样本量。
建立方程：令样本均值等于总体均值，解方程求出$a$的估计值。

关键点：正确写出均匀分布的均值公式，并通过样本均值与总体均值的等式建立方程。

步骤1：计算样本均值

样本数据为$(1.3, 1.9, 1.7, 1.5, 1.1)$，样本均值为：
$\bar{X} = \frac{1.3 + 1.9 + 1.7 + 1.5 + 1.1}{5} = \frac{7.5}{5} = 1.5$

步骤2：写出总体均值

均匀分布$U(a, 2a)$的均值为：
$\mu = \frac{a + 2a}{2} = \frac{3a}{2}$

步骤3：建立方程并求解

令经验一阶原点矩（样本均值）等于总体一阶原点矩：
$1.5 = \frac{3a}{2}$
解得：
$a = \frac{1.5 \times 2}{3} = 1$