5.(单选题，3.3分)设A,B均是n阶矩阵，且AB=E,BC=2E,则(A-C)^2B=（）.A. (C)/(2)B. (A)/(2)C. 2AD. 2C

本题考查矩阵的运算性质，解题的关键在于利用已知条件$AB = E$和$BC = 2E$，通过矩阵乘法的分配律和结合律对$(A - C)^2B$进行化简。

1. 首先，根据完全平方公式$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，将$(A - C)^2B$展开：
   • $(A - C)^2B=(A^2 - 2AC + C^2)B$
   • 再根据矩阵乘法的分配律$(M+N+P)Q = MQ+NQ+PQ$，进一步得到$(A^2 - 2AC + C^2)B=A^2B - 2ACB + C^2B$。
2. 然后，对$A^2B - 2ACB + C^2B$中的每一项进行化简：
   • 对于$A^2B$，根据矩阵乘法结合律$(MN)P = M(NP)$，可得$A^2B=A(AB)$。
     • 已知$AB = E$，所以$A(AB)=AE$。
     • 又因为任何矩阵与单位矩阵相乘都等于其本身，即$AE = A$。
   • 对于$2ACB$，同样根据矩阵乘法结合律，$2ACB = 2A(CB)$。
     • 已知$BC = 2E$，两边同时左乘$B^{-1}$（因为$BC = 2E$，所以$B$可逆），得到$C = 2B^{-1}$，那么$CB = 2B^{-1}B$。
     • 由于$B^{-1}B = E$，所以$2B^{-1}B = 2E$，则$2A(CB)=2A\times2E = 4A$。
   • 对于$C^2B$，根据矩阵乘法结合律$C^2B = C(CB)$。
     • 由前面已求得$CB = 2E$，所以$C(CB)=C\times2E = 2C$。
3. 最后，将化简后的各项代入$A^2B - 2ACB + C^2B$：
   • $A^2B - 2ACB + C^2B=A - 4A + 2C$。
   • 合并同类项可得$A - 4A + 2C=-3A + 2C$。
   • 又因为$AB = E$，所以$A = B^{-1}$，$BC = 2E$，则$C = 2B^{-1}=2A$。
   • 将$C = 2A$代入$-3A + 2C$，得到$-3A + 2\times2A=-3A + 4A = A$。
   • 再由$C = 2A$，可得$A=\frac{C}{2}$。