题目
(填空题)某市交通管理部门拟估计该市机动车未按照规定购买保险的比例。(1)他们希望估计的允许误差不超过0.02,置信度为95%,请确定所需的样本容量_。(2)假设他根据(1)所确定的样本容量进行了抽样,并计算得出样本比例0.15,试构建置信度为95%的总体比例的置信区间,区间下限为_,区间上限为_。(答案保留小数点后3位)
(填空题)某市交通管理部门拟估计该市机动车未按照规定购买保险的比例。(1)他们希望估计的允许误差不超过0.02,置信度为95%,请确定所需的样本容量_。(2)假设他根据(1)所确定的样本容量进行了抽样,并计算得出样本比例0.15,试构建置信度为95%的总体比例的置信区间,区间下限为_,区间上限为_。(答案保留小数点后3位)
题目解答
答案
(1) 根据给定的允许误差和置信度，计算所需的样本容量：
给定 E = 0.02, Z对应于95%置信度为1.96（双侧，从Z分布表中查得）
使用公式：
最不利的情况是p=0.5，将其代入公式得到：
= 2404.16
取上界，所以样本容量 n = 2405。
(2) 使用给定的样本比例0.15，构建95%的置信区间：
区间为
= 0.15 ± 0.019
因此，区间下限为 0.131，区间上限为 0.169。
答案：
(1) 2405
(2) 区间下限为 0.131，区间上限为 0.169。
解析
步骤 1：计算所需的样本容量
给定 E = 0.02, Z对应于95%置信度为1.96（双侧，从Z分布表中查得）
使用公式：
$=\dfrac {{z}^{2}\times p\times (1-p)}{{E}^{2}}$
最不利的情况是p=0.5，将其代入公式得到：
$=\dfrac {{1.96}^{2}\times 0.5\times 0.5}{{0.02}^{2}}$
$=\dfrac {3.8416\times 0.25}{0.0004}$
= 2404.16
取上界，所以样本容量 n = 2405。
步骤 2：构建置信区间
使用给定的样本比例0.15，构建95%的置信区间：
区间为$\pm 2\times \sqrt {\dfrac {p(1-q)}{n}}=0.15\pm 1.96\times \sqrt {\dfrac {0.15\times 0.85}{2405}}$
= 0.15 ± 0.019
因此，区间下限为 0.131，区间上限为 0.169。
给定 E = 0.02, Z对应于95%置信度为1.96（双侧，从Z分布表中查得）
使用公式：
$=\dfrac {{z}^{2}\times p\times (1-p)}{{E}^{2}}$
最不利的情况是p=0.5，将其代入公式得到：
$=\dfrac {{1.96}^{2}\times 0.5\times 0.5}{{0.02}^{2}}$
$=\dfrac {3.8416\times 0.25}{0.0004}$
= 2404.16
取上界，所以样本容量 n = 2405。
步骤 2：构建置信区间
使用给定的样本比例0.15，构建95%的置信区间：
区间为$\pm 2\times \sqrt {\dfrac {p(1-q)}{n}}=0.15\pm 1.96\times \sqrt {\dfrac {0.15\times 0.85}{2405}}$
= 0.15 ± 0.019
因此，区间下限为 0.131，区间上限为 0.169。