题目

92. 单选 (1分) 设随机变量X、Y相互独立，它们的期望和方差都存在，则有（）. (1) D(2X+3Y)=2D(X)+3D(Y) (2) D(9)=9 (3) D(X-Y)=D(X)+D(Y) (4) E(2X)=4E(X)bigcirc (3)bigcirc (4)bigcirc (2)bigcirc (1)

92. 单选 (1分) 设随机变量X、Y相互独立，它们的期望和方差都存在，则有（）. (1) D(2X+3Y)=2D(X)+3D(Y) (2) D(9)=9 (3) D(X-Y)=D(X)+D(Y) (4) E(2X)=4E(X) $\bigcirc$ (3) $\bigcirc$ (4) $\bigcirc$ (2) $\bigcirc$ (1)

题目解答

答案

根据期望和方差的性质： 1. **方差性质**：对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有 \[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) \] - **选项(1)**：$D(2X + 3Y) = 4D(X) + 9D(Y)$，错误。 - **选项(3)**：$D(X - Y) = D(X) + D(Y)$，正确（$a=1$，$b=-1$）。 2. **常数方差**：常数的方差为0，选项(2)错误。 3. **期望性质**：$E(aX) = aE(X)$，选项(4)错误（应为 $2E(X)$）。 **答案**：$\boxed{(3)}$

解析

本题考查独立随机变量的方差与期望性质，需掌握以下核心知识点：

  1. 方差性质：若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$；
  2. 常数方差：常数的方差为 $0$；
  3. 期望性质：$E(aX) = aE(X)$。

破题关键在于正确应用上述性质，逐条分析选项的正确性。

选项（1）分析

根据方差性质，$D(2X + 3Y) = 2^2D(X) + 3^2D(Y) = 4D(X) + 9D(Y)$，但选项（1）写为 $2D(X) + 3D(Y)$，错误。

选项（2）分析

常数 $9$ 的方差应为 $0$，但选项（2）写为 $9$，错误。

选项（3）分析

由独立性，$D(X - Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)^2D(Y) = D(X) + D(Y)$，正确。

选项（4）分析

根据期望性质，$E(2X) = 2E(X)$，但选项（4）写为 $4E(X)$，错误。