题目
设随机变量X表示投掷100枚硬币正面出现的数量,Y表示反面出现的数量,则X Y的相关系数rho = ().A. 0;B. 0.5;C. 1;D. -1
设随机变量X表示投掷100枚硬币正面出现的数量,Y表示反面出现的数量,则X Y的相关系数$\rho = ().
A. 0;
B. 0.5;
C. 1;
D. -1
题目解答
答案
D. -1
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量$X$表示投掷100枚硬币正面出现的数量，$Y$表示反面出现的数量。由于每次投掷硬币只有两种结果，正面或反面，因此$X$和$Y$之间存在确定的关系，即$X + Y = 100$。
步骤 2：计算相关系数
相关系数$\rho$的定义为：
$$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$$
其中$Cov(X,Y)$是$X$和$Y$的协方差，$Var(X)$和$Var(Y)$分别是$X$和$Y$的方差。
步骤 3：计算协方差
由于$X + Y = 100$，可以得出$Y = 100 - X$。因此，$X$和$Y$是完全线性相关的，协方差$Cov(X,Y)$为：
$$Cov(X,Y) = Cov(X,100-X) = -Var(X)$$
因为$Var(X) = Var(100-X) = Var(Y)$，所以$Var(X) = Var(Y)$。
步骤 4：计算相关系数
将$Cov(X,Y) = -Var(X)$代入相关系数的定义中，得到：
$$\rho = \frac{-Var(X)}{\sqrt{Var(X)Var(X)}} = \frac{-Var(X)}{Var(X)} = -1$$
设随机变量$X$表示投掷100枚硬币正面出现的数量，$Y$表示反面出现的数量。由于每次投掷硬币只有两种结果，正面或反面，因此$X$和$Y$之间存在确定的关系，即$X + Y = 100$。
步骤 2：计算相关系数
相关系数$\rho$的定义为：
$$\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$$
其中$Cov(X,Y)$是$X$和$Y$的协方差，$Var(X)$和$Var(Y)$分别是$X$和$Y$的方差。
步骤 3：计算协方差
由于$X + Y = 100$，可以得出$Y = 100 - X$。因此，$X$和$Y$是完全线性相关的，协方差$Cov(X,Y)$为：
$$Cov(X,Y) = Cov(X,100-X) = -Var(X)$$
因为$Var(X) = Var(100-X) = Var(Y)$，所以$Var(X) = Var(Y)$。
步骤 4：计算相关系数
将$Cov(X,Y) = -Var(X)$代入相关系数的定义中，得到：
$$\rho = \frac{-Var(X)}{\sqrt{Var(X)Var(X)}} = \frac{-Var(X)}{Var(X)} = -1$$