题目

测量某一目标的距离时，测量误差X服从(0,(40)^2)（单位：cm），（1）求测量误差的绝对值不超过40cm的概率；（2）若进行三次独立测量，Y表示三次测量中误差的绝对值不超过40cm的次数，写出Y的分布律，并求(0,(40)^2)。（结果可用标准正态分布的分布函数表示）

测量某一目标的距离时，测量误差X服从 $N\left(0,40^2\right)$ （单位：cm），

（1）求测量误差的绝对值不超过40cm的概率；

（2）若进行三次独立测量，Y表示三次测量中误差的绝对值不超过40cm的次数，写出Y的分布律，并求 $P\left\{Y\ge1\right\}$ 。（结果可用标准正态分布的分布函数表示）

题目解答

答案

（1）∵X服从 $N\left(0,40^2\right)$

∴ $P\left\{\left|X\right|\le40\right\}=P\left\{-40\le X\le40\right\}$

$=\Phi\left(\frac{40}{40}\right)-\Phi\left(-\frac{40}{40}\right)$

$=\Phi\left(1\right)-\Phi\left(-1\right)$

$=2\Phi\left(1\right)-1$

（2）由二项分布定义得：

$Y\sim B\left(3,2\Phi\left(1\right)-1\right)$

∴ $P\left\{Y=0\right\}=C_3^0p^0\left(1-p\right)^3$

$=8\left(1-\Phi\left(1\right)\right)^3$

$P\left\{Y=1\right\}=C_3^1p^1\left(1-p\right)^2$

$=12\left(2\Phi\left(1\right)-1\right)\left(1-\Phi\left(1\right)\right)^2$

$P\left\{Y=2\right\}=C_3^2p^2\left(1-p\right)^1$

$=6\left(2\Phi\left(1\right)-1\right)^2\left(1-\Phi\left(1\right)\right)$

$P\left\{Y=3\right\}=C_3^3p^3\left(1-p\right)^0$

$=\left(2\Phi\left(1\right)-1\right)^3$

∴Y的分布律为：

$Y\sim(_{8\left(1-\Phi\left(1\right)\right)^3\ \ \ \ 12\left(2\Phi\left(1\right)-1\right)\left(1-\Phi\left(1\right)\right)^2}^{0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ }$

$_{6\left(2\Phi\left(1\right)-1\right)^2\left(1-\Phi\left(1\right)\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(2\Phi\left(1\right)-1\right)^3}^{\ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3\ })$

∴ $P\left\{Y\ge1\right\}=1-P\left\{Y=0\right\}$

$=1-8\left(1-\Phi\left(1\right)\right)^3$

解析

步骤 1：计算测量误差绝对值不超过40cm的概率
由于测量误差X服从正态分布N(0,40^2)，我们需要计算$P\{ |X|\leqslant 40\}$，即$P\{ -40\leqslant X\leqslant 40\}$。这可以通过标准正态分布的分布函数$\Phi$来计算，其中$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 2：计算三次独立测量中误差的绝对值不超过40cm的次数的分布律
由于每次测量是独立的，且每次测量误差的绝对值不超过40cm的概率是固定的，因此Y（三次测量中误差的绝对值不超过40cm的次数）服从二项分布$B(3,p)$，其中$p$是单次测量误差的绝对值不超过40cm的概率。
步骤 3：计算$P\{ Y\geqslant 1\}$
$P\{ Y\geqslant 1\}$可以通过计算$P\{ Y=0\}$的补集来得到，即$P\{ Y\geqslant 1\} = 1 - P\{ Y=0\}$。