2.必答[单选题]已知总体X~N(μ,σ²)，X_(1),X_(2),...,X_(n)为来自总体的样本，overline(x)为样本均值，S²为样本方差，则overline(x)服从( ).A. N(0,1)B. N(μ,(σ^2)/(n))

本题考查正态分布分布的性质以及样本均值的分布。解题思路是根据正态分布的性质，推导出样本均值的期望和的分布，再通过标准化得到样本均值的分布。

1. 已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$}))，且$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$为来自总体的样本，根据正态分布的性质：若$X_{i}\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$i = 1,2,\cdots,n$，且相互独立，则它们的线性组合$\sum_{i = 1}^{n}a_{i}X_{i}$也服从 服从正态分布，其中$a_{i}$为常数。
   • 对于样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}{i = 1}X_{i}$，这里$a_{i}=\frac{1}{n}$，$i = = 1,2,\cdots,n$。
   • 首先求$\sum_{i = 1}^{n}XXX_{i}$的期望$E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})$：
     • 根据期望的线性性质$E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}E(X_{i})$，因为$E(X_{i})=\mu$，$i = 1,2,\cdots,n$，所以$1)\(E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}\mu=n\mu$。
   • 然后求$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$的方差$D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})$：
     • 根据方差的性质$D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}D(X_{i})$（因为$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$相互独立），又因为$D(X_{i})=\sigma^{2}$，$i = 1,2,\cdots,n$，所以$D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\sum_{i = 1}^{n}\sigma^{2}=n\sigma^{2}$。
   • 所以$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}\sim N(n\mu,n\sigma^{2})$。
2. 接着求样本均值$\overline{X=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$的期望和方差：
   • 求期望$E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})$，根据期望的性质$E(aY)=aE(Y)$（$a$为常数，$Y$为随机变量），这里$a = \frac{1}{n}$，$Y=\sum_{i = 1}^{n}X_{i$，所以$E(\overline{X})=\frac{1}{n}E(\sum_{i = 1}^{n}X_{i})=\frac{1}{n}\times n\mu=\mu$。
   • 方差$D(\overline{X})=}D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i})$，根据方差的性质$D(aY)=a^{2}D(Y)$（$a$为常数，$Y$为变量），这里$a=\frac{1}{n}$，$Y = \sum_{i = 1}^{n}X_{i}$，所以$2)\(D(\overline{X})=\frac{1}{n^{2}}D(\sum_{i = 1}^{n}X_{i)=\frac{1}{n^{2}}\times n\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}$。
3. 由于$\overline{X}$是正态分布随机变量$\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$的线性变换，所以$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。