6.设X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体Xsim N(mu,sigma^2)的样本，对于任给的varepsilon>0，样本均值overline(X)满足的切比雪夫不等式为（）.A.Pvertoverline{X)-nmuvert<varepsilon}geq(nsigma^2)/(varepsilon^2) B.Pvertoverline{X)-muvert<varepsilon}geq1-(sigma^2)/(nvarepsilon^2)C.Pvertoverline{X)-muvertgeqvarepsilon}leq1-(nsigma^2)/(varepsilon^2) D.Pvertoverline{X)-nmuvertgeqvarepsilon}leq(nsigma^2)/(varepsilon^2).
题目解答
答案
这是一道关于概率论与数理统计中切比雪夫不等式应用的题目。我们可以通过以下步骤进行推理和解答：
第一步：确定样本均值 $\overline{X}$ 的期望和方差
已知 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。
总体 $X$ 的期望为 $E(X) = \mu$，方差为 $D(X) = \sigma^2$。
样本均值定义为 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
根据期望和方差的性质：
- 样本均值的期望：
$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$ - 样本均值的方差：
因为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是独立同分布的，所以：
$D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$
第二步：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任意具有有限期望 $E(Y)$ 和方差 $D(Y)$ 的随机变量 $Y$，以及任意给定的 $\varepsilon > 0$，满足以下不等式：
$P\{|Y - E(Y)| \geq \varepsilon\} \leq \frac{D(Y)}{\varepsilon^2}$
将其等价变形可得：
$P\{|Y - E(Y)| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{D(Y)}{\varepsilon^2}$
第三步：将样本均值 $\overline{X}$ 代入切比雪夫不等式
将 $Y = \overline{X}$，$E(\overline{X}) = \mu$，$D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ 代入上述不等式中：
$P\{|\overline{X} - \mu| \geq \varepsilon\} \leq \frac{\frac{\sigma^2}{n}}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$
或者使用其等价形式：
$P\{|\overline{X} - \mu| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$
第四步：对比选项
- A选项： $P\{|\overline{X} - n\mu| < \varepsilon\} \geq \frac{n\sigma^2}{\varepsilon^2}$。这里减去的期望值错误（应为 $\mu$ 而不是 $n\mu$），且右边的表达式不符合切比雪夫不等式的形式（概率大于1是不可能的）。
- B选项： $P\{|\overline{X} - \mu| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$。这与我们推导出的结果完全一致。
- C选项： $P\{|\overline{X} - \mu| \geq \varepsilon\} \leq 1 - \frac{n\sigma^2}{\varepsilon^2}$。右边的表达式形式错误，且可能小于0。
- D选项： $P\{|\overline{X} - n\mu| \geq \varepsilon\} \leq \frac{n\sigma^2}{\varepsilon^2}$。减去的期望值错误。
综上所述，正确选项是 B。
解析
本题考查概率论与数理统计中切比雪夫不等式在样本均值上的应用。解题思路是先求出样本均值的期望和方差，再将其代入切比雪夫不等式，最后与各个选项进行对比。
- 确定样本均值$\overline{X}$的期望和方差：
- 已知$X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的样本，总体$X$的期望$E(X) = \mu$，方差$D(X) = \sigma^2$。
- 样本均值$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$。
- 根据期望的性质$E(aY)=aE(Y)$（$a$为常数）和$E(Y_1 + Y_2)=E(Y_1)+E(Y_2)$，可得样本均值的期望：
$E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i)$
因为$X_1, X_2, \cdots, X_n$是来自总体$X$的样本，所以$E(X_i)=\mu$（$i = 1,2,\cdots,n$），则$E(\overline{X}) = \frac{1}{n} \cdot n\mu = \mu$。 - 根据方差的性质$D(aY)=a^2D(Y)$（$a$为常数）和$D(Y_1 + Y_2)=D(Y_1)+D(Y_2)$（$Y_1$与$Y_2$相互独立），由于样本$X_1, X_2, \cdots, X_n$是独立同分布的，所以样本均值的方差：
$D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} D(X_i)$
因为$D(X_i)=\sigma^2$（$i = 1,2,\cdots,n$），则$D(\overline{X}) = \frac{1}{n^2} \cdot n\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}$。
- 应用切比雪夫不等式：
切比雪夫不等式指出，对于任意具有有限期望$E(Y)$和方差$D(Y)$的随机变量$Y$，以及任意给定的$\varepsilon > 0$，有$P\{|Y - E(Y)| \geq \varepsilon\} \leq \frac{D(Y)}{\varepsilon^2}$，等价变形可得$P\{|Y - E(Y)| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{D(Y)}{\varepsilon^2}$。 - 将样本均值$\overline{X}$代入切比雪夫不等式：
把$Y = \overline{X}$，$E(\overline{X}) = \mu$，$D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$代入上述不等式，可得$P\{|\overline{X} - \mu| \geq \varepsilon\} \leq \frac{\frac{\sigma^2}{n}}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$，或者$P\{|\overline{X} - \mu| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$。 - 对比选项：
- A选项：$P\{|\overline{X} - n\mu| < \varepsilon\} \geq \frac{n\sigma^2}{\varepsilon^2}$，减去的期望值错误（应为$\mu$而不是$n\mu$），且右边的表达式不符合切比雪夫不等式的形式（概率大于$1$是不可能的）。
- B选项：$P\{|\overline{X} - \mu| < \varepsilon\} \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$，与推导出的结果一致。
- C选项：$P\{|\overline{X} - \mu| \geq \varepsilon\} \leq 1 - \frac{n\sigma^2}{\varepsilon^2}$，右边的表达式形式错误，且可能小于$0$。
- D选项：$P\{|\overline{X} - n\mu| \geq \varepsilon\} \leq \frac{n\sigma^2}{\varepsilon^2}$，减去的期望值错误。