设 X_1, X_2, X_3 为来自总体 X 的样本，则下列(）不是总体均值无偏估计量；(）是最有效的估计量.A. mu_1 = 0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3B. mu_2 = 2X_1 - X_2C. mu_3 = 0.2X_1 + X_2 + 0.2X_3D. mu_4 = (1)/(3)X_1 + (1)/(3)X_2 + (1)/(3)X_3

本题考查总体均值无偏估计量和最有效估计量的概念及计算。解题思路是先根据无偏估计量的定义判断各选项是否为总体均值的无偏估计量，再根据有效估计量的定义，在无偏估计量中比较方差大小，方差最小的即为最有效估计量。

1. 判断各选项是否为总体均值的无偏估计量

设总体 $X$ 的均值为 $E(X)=\mu$，因为 $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的样本，所以 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$。
若 $E(\hat{\mu}) = \mu$，则 $\hat{\mu}$ 是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量。

• 选项A：$\mu_1 = 0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3$
  根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$，可得：
  $E(\mu_1)=E(0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3)=0.2E(X_1)+0.3E(X_2)+0.5E(X_3)$
  将 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$ 代入上式得：
  $E(\mu_1)=0.2\mu + 0.3\mu + 0.5\mu=(0.2 + 0.3 + 0.5)\mu=\mu$
  所以 $\mu_1$ 是总体均值的无偏估计量。
• 选项B：$\mu_2 = 2X_1 - X_2$
  同理可得：
  $E(\mu_2)=E(2X_1 - X_2)=2E(X_1)-E(X_2)$
  将 $E(X_1)=E(X_2)=\mu$ 代入上式得：
  $E(\mu_2)=2\mu - \mu=\mu$
  所以 $\mu_2$ 是总体均值的无偏估计量。
• 选项C：$\mu_3 = 0.2X_1 + X_2 + 0.2X_3$
  $E(\mu_3)=E(0.2X_1 + X_2 + 0.2X_3)=0.2E(X_1)+E(X_2)+0.2E(X_3)$
  将 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$ 代入上式得：
  $E(\mu_3)=0.2\mu + \mu + 0.2\mu=(0.2 + 1 + 0.2)\mu = 1.4\mu\neq\mu$
  所以 $\mu_3$ 不是总体均值的无偏估计量。
• 选项D：$\mu_4 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$
  $E(\mu_4)=E(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3)=\frac{1}{3}E(X_1)+\frac{1}{3}E(X_2)+\frac{1}{3}E(X_3)$
  将 $E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$ 代入上式得：
  $E(\mu_4)=\frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{3}\mu=(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3})\mu=\mu$
  所以 $\mu_4$ 是总体均值的无偏估计量。

2. 找出最有效的估计量

设总体 $X$ 的方差为 $D(X)=\sigma^2$，因为 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，所以 $D(X_1)=D(X_2)=D(X_3)=\sigma^2$。
根据方差的性质 $D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$（$X$ 与 $Y$ 相互独立），在无偏估计量中，方差越小越有效。

• 选项A：$\mu_1 = 0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3$
  $D(\mu_1)=D(0.2X_1 + 0.3X_2 + 0.5X_3)=0.2^2D(X_1)+0.3^2D(X_2)+0.5^2D(X_3)$
  将 $D(X_1)=D(X_2)=D(X_3)=\sigma^2$ 代入上式得：
  $D(\mu_1)=0.2^2\sigma^2 + 0.3^2\sigma^2 + 0.5^2\sigma^2=(0.04 + 0.09 + 0.25)\sigma^2 = 0.38\sigma^2$
• 选项B：$\mu_2 = 2X_1 - X_2$
  $D(\mu_2)=D(2X_1 - X_2)=2^2D(X_1)+(-1)^2D(X_2)$
  将 $D(X_1)=D(X_2)=\sigma^2$ 代入上式得：
  $D(\mu_2)=4\sigma^2 + \sigma^2 = 5\sigma^2$
• 选项D：$\mu_4 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$
  $D(\mu_4)=D(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3)=\frac{1}{3}^2D(X_1)+\frac{1}{3}^2D(X_2)+\frac{1}{3}^2D(X_3)$
  将 $D(X_1)=D(X_2)=D(X_3)=\sigma^2$ 代入上式得：
  $D(\mu_4)=\frac{1}{9}\sigma^2 + \frac{1}{9}\sigma^2 + \frac{1}{9}\sigma^2=\frac{1}{3}\sigma^2\approx0.33\sigma^2$

比较 $D(\mu_1)=0.38\sigma^2$，$D(\mu_2)=5\sigma^2$，$D(\mu_4)=\frac{1}{3}\sigma^2$ 的大小，可得 $D(\mu_4)\lt D(\mu_1)\lt D(\mu_2)$，所以 $\mu_4$ 是最有效的估计量。