在某校举行的数学竞赛中,全-|||-体参赛学生的竞赛成绩(单位:分)近似服从正态分布N (70,-|||-100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.-|||-(1)试问此次参赛的学生总人数约为多少?-|||-(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设得-|||-奖的分数线约为多少分?-|||-可供查阅的(部分)标准正态分布表 phi ((x)_(0))=P((x)_(0)(x)_(0))(x)_(1)(x)_(1)(x)_(0)(x)_(1)(x)_(1)(x)_(1)(x)_(0)(x)_(1)(x)_(0)(x)_(1){x 的数据如下:-|||-x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-|||-1.2 0.8849 0.8869 0.888 8 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015-|||-1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.916 2 0.9177-|||-1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.929 2 0.930 6 0.9319-|||-1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.973 8 0.9744 0.975 0 0.975 6 0.9762 0.9767-|||-2.0 0.9772 0.9778 0.978 3 0.9788 0.9793 0.979 8 0.980 3 0.980 8 0.981 2 0.9817-|||-2. 1 0.9821 0.9826 0.983 0 0.9834 0.9838 0.9842 0.984 6 0.985 0 0.9854 0.9857

本题主要考查正态分布的性质以及标准正态分布表的应用。解题的关键在于利用正态分布的标准化公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$X$是原始变量，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差，$Z$是标准正态分布变量）将一般正态分布转化为标准正态分布，再结合标准正态分布表来求解概率和未知参数。

（1）求此次参赛的学生总人数

设参赛学生的分数为$\xi$，已知$\xi \sim N(70, 100)$，这表明$\xi$服从均值$\mu = 70$，方差$\sigma^2 = 100$的正态分布，那么标准差$\sigma = \sqrt{100} = 10$。

• 首先，根据正态分布的性质，求成绩在$90$分以上（含$90$分）的概率$P(\xi \geq 90)$。
  因为$P(\xi \geq 90)=1 - P(\xi < 90)$，而$P(\xi < 90)$可通过标准化公式转化为标准正态分布的概率，即$P(\xi < 90)=\varPhi(\frac{90 - 70}{10})$，其中$\varPhi(x)$是标准正态分布的分布函数。
  计算$\frac{90 - 70}{10}=\frac{20}{10} = 2$，所以$P(\xi < 90)=\varPhi(2)$。
  查标准正态分布表可得$\varPhi(2)=0.9772$，则$P(\xi \geq 90)=1 - 0.9772 = 0.0228$。
• 然后，已知成绩在$90$分以上（含$90$分）的学生有$12$名，设参赛总人数为$n$，由于成绩在$90$分以上（含$90$分）的学生人数约占全体参赛人数的$0.0228$，所以可得$0.0228n = 12$，则$n = \frac{12}{0.0228}\approx 526$。

（2）求得奖的分数线

假定设得奖的分数线为$x$分，因为要奖励竞赛成绩排在前$50$名的学生，参赛总人数约为$526$名，所以成绩高于分数线$x$的学生人数占总人数的比例为$\frac{50}{526}\approx 0.0951$，即$P(\xi \geq x)=0.0951$。

• 同样根据正态分布的性质，$P(\xi \geq x)=1 - P(\xi < x)$，而$P(\xi < x)=\varPhi(\frac{x - 70}{10})$，所以$1 - \varPhi(\frac{x - 70}{10}) = 0.0951$，移项可得$\varPhi(\frac{x - 70}{10}) = 1 - 0.0951 = 0.9049$。
• 查标准正态分布表，找到$\varPhi(x_0)=0.9049$对应的$x_0$值，可得$\frac{x - 70}{10}=1.31$。
• 最后解方程$\frac{x - 70}{10}=1.31$，两边同时乘以$10$得$x - 70 = 1.31\times10 = 13.1$，再移项可得$x = 13.1 + 70 = 83.1$。