有一电站供300台设备用电,各台设备用电情况是相互独立的。若各台设备一天-|||-的用电量(度)在[0,60]上服从均匀分布,若要以0.975以上的概率保证这300-|||-台设备的用电,则电站每天至少应供应 () 度电-|||-A 9500-|||-B 9588-|||-C)9688-|||-D 9548

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，涉及均匀分布的期望与方差计算，以及正态分布分位数的求解。

解题核心思路：

1. 确定单台设备用电量的分布：用电量服从均匀分布$U[0,60]$，计算其期望和方差。
2. 总用电量的分布：利用中心极限定理，将300台设备的总用电量近似为正态分布。
3. 求解临界值：根据概率要求$0.975$，通过标准正态分布的分位数确定电站至少需要供应的电量。

破题关键点：

• 均匀分布的期望与方差：$E(X)=\frac{a+b}{2}$，$D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$。
• 中心极限定理的应用：总用电量$S$近似服从$N(300E(X), 300D(X))$。
• 分位数对应关系：$P(S \leq s) = 0.975$对应标准正态分布的$1.96$分位数。

步骤1：计算单台设备用电量的期望与方差

• 均匀分布参数：$a=0$，$b=60$。
• 期望：
  $E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{0 + 60}{2} = 30 \text{度}$
• 方差：
  $D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} = \frac{60^2}{12} = 300$

步骤2：总用电量的分布

• 总用电量：$S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{300}$。
• 期望与方差：
  $E(S) = 300 \cdot E(X) = 300 \cdot 30 = 9000 \text{度}$
  $D(S) = 300 \cdot D(X) = 300 \cdot 300 = 90000$
  $\text{标准差} = \sqrt{D(S)} = \sqrt{90000} = 300$

步骤3：应用中心极限定理

• 标准化处理：
  $P(S \leq s) = P\left(\frac{S - 9000}{300} \leq \frac{s - 9000}{300}\right) \geq 0.975$
• 查标准正态分布表：
  $\frac{s - 9000}{300} = 1.96 \quad \Rightarrow \quad s = 9000 + 1.96 \cdot 300 = 9588$