题目

判断题（共10题，50.0分）16.（5.0分）若A为n阶正交矩阵，则A^-1,A^*为正交矩阵.A 对B 错

判断题（共10题，50.0分） 16.（5.0分）若A为n阶正交矩阵，则$A^{-1}$,$A^{*}$为正交矩阵. A 对 B 错

题目解答

答案

正交矩阵的定义是：若 $ A $ 为 $ n $ 阶正交矩阵，则满足 $ A^T A = I $，其中 $ I $ 为单位矩阵。

  1. 求逆矩阵：由 $ A^T A = I $，可得 $ A^{-1} = A^T $。由于 $ (A^{-1})^T (A^{-1}) = (A^T)^T (A^T) = A A^T = I $，故 $ A^{-1} $ 也是正交矩阵。
  2. 求伴随矩阵：对于正交矩阵 $ A $，有 $ A^* = |A| A^{-1} $。因为 $ |A| = \pm 1 $（正交矩阵的行列式为 $ \pm 1 $），所以 $ (A^*)^T A^* = (|A| A^{-1})^T (|A| A^{-1}) = |A|^2 (A^{-1})^T A^{-1} = |A|^2 (A^T)^T A^T = |A|^2 I = I $，故 $ A^* $ 也是正交矩阵。

综上，$ A^{-1} $ 和 $ A^* $ 均为正交矩阵，原题说法正确。

答案：A 对