7-|||---- 一-|||-、-|||-1-|||-,-|||-p 9 如图所示,一电容器由两个同轴圆筒组成,内筒半径为a,外筒半径为b,筒长都是L,中间充满相对介电常量为r的各向同性均匀电介质.内、外筒分别带有等量异号电荷+Q和-Q.设 (b- a) << a,L >> b,可以忽略边缘效应,求:(1) 圆柱形电容器的电容;(2) 电容器贮存的能量.

步骤 1：计算电场强度
由题给条件 $(b-a)\ll a$ 和 $L \gg b$，忽略边缘效应，应用高斯定理可求出两筒之间的场强为：
$$
E = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L r}
$$
步骤 2：计算电势差
两筒间的电势差 $U$ 可以通过积分场强 $E$ 来计算：
$$
U = \int_{a}^{b} E dr = \int_{a}^{b} \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L r} dr = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left(\frac{b}{a}\right)
$$
步骤 3：计算电容
电容器的电容 $C$ 可以通过电荷量 $Q$ 和电势差 $U$ 来计算：
$$
C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left(\frac{b}{a}\right)} = \frac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L}{\ln \left(\frac{b}{a}\right)}
$$
步骤 4：计算电容器贮存的能量
电容器贮存的能量 $W$ 可以通过电容 $C$ 和电势差 $U$ 来计算：
$$
W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \frac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L}{\ln \left(\frac{b}{a}\right)} \left(\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left(\frac{b}{a}\right)\right)^2 = \frac{Q^2}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left(\frac{b}{a}\right)
$$