题目
设某次考试成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，平均成绩为66.5分，总体均方差为15分。问在显著水平为0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
设某次考试成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，平均成绩为66.5分，总体均方差为15分。问在显著水平为0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
题目解答
答案
设某次考试成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，则
，平均成绩为66.5分，即
，总体均方差为15分，即
，在显著水平为
下，想要判断这次考试全体考生的平均成绩为70分，则检验假设为
的拒绝域为
，则
，
，则样本均值不在拒绝域内，则接受原假设
，则在显著水平为0.05下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。
解析
步骤 1：确定检验假设
检验假设为${H}_{0}:\mu =70$，${H}_{1}:\mu \neq 70$，其中$\mu$表示全体考生的平均成绩。
步骤 2：确定拒绝域
在显著水平为0.05下，拒绝域为$(-\infty ,{\mu }_{0}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {a}{2})\cup ({\mu }_{0}+\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {a}{2},+\infty )$，其中${\mu }_{0}=70$，$\sigma =15$，$n=36$，$z\dfrac {a}{2}=1.96$（查标准正态分布表）。
步骤 3：计算拒绝域的边界值
${\mu }_{0}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {a}{2}=70-\dfrac {15}{\sqrt {36}}\times 1.96=70-2.5\times 1.96=65.1$
${\mu }_{0}+\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {a}{2}=70+\dfrac {15}{\sqrt {36}}\times 1.96=70+2.5\times 1.96=74.9$
步骤 4：判断样本均值是否在拒绝域内
样本均值为66.5分，不在拒绝域$(-\infty ,65.1)\cup (74.9,+\infty )$内，因此接受原假设${H}_{0}$。
检验假设为${H}_{0}:\mu =70$，${H}_{1}:\mu \neq 70$，其中$\mu$表示全体考生的平均成绩。
步骤 2：确定拒绝域
在显著水平为0.05下，拒绝域为$(-\infty ,{\mu }_{0}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {a}{2})\cup ({\mu }_{0}+\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {a}{2},+\infty )$，其中${\mu }_{0}=70$，$\sigma =15$，$n=36$，$z\dfrac {a}{2}=1.96$（查标准正态分布表）。
步骤 3：计算拒绝域的边界值
${\mu }_{0}-\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {a}{2}=70-\dfrac {15}{\sqrt {36}}\times 1.96=70-2.5\times 1.96=65.1$
${\mu }_{0}+\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}z\dfrac {a}{2}=70+\dfrac {15}{\sqrt {36}}\times 1.96=70+2.5\times 1.96=74.9$
步骤 4：判断样本均值是否在拒绝域内
样本均值为66.5分，不在拒绝域$(-\infty ,65.1)\cup (74.9,+\infty )$内，因此接受原假设${H}_{0}$。