3. (12.0分)一本书有1000页，假设每页印刷错误字数服从泊松分布π(0.1)，且每页书的印刷错误字数相互独立，根据题意回答下列问题： (1)设X_(k)为第k页书的印刷错误字数，写出X_(k)满足独立同分布的中心极限定理中除的⑤外的其他4个条件： ①____；②____；③____；④____。 (2)根据中心极限定理，在⑤n=1000较大时，sum_(k=1)^1000X_(k)近似simsim____。 (3)根据(2)，求这本书的印刷错误字数不超过120的概率。

为了解决这个问题，我们需要使用中心极限定理和泊松分布的性质。让我们一步步来分析。 ### 第一步：识别中心极限定理的条件 中心极限定理指出，对于一个独立同分布的随机变量序列 $X_1, X_2, \ldots, X_n$，其中每个 $X_i$ 的均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$，当 $n$ 足够大时，随机变量 $X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ 的和近似服从均值为 $n\mu$，方差为 $n\sigma^2$ 的正态分布。 对于问题中的 $X_k$，条件是： 1. $X_k$ 是独立的。 2. $X_k$ 是同分布的。 3. $X_k$ 的均值 $\mu$ 存在。 4. $X_k$ 的方差 $\sigma^2$ 存在。 因此，答案是： ① $X_k$ 是独立的。 ② $X_k$ 是同分布的。 ③ $X_k$ 的均值 $\mu$ 存在。 ④ $X_k$ 的方差 $\sigma^2$ 存在。 ### 第二步：确定 $\sum_{k=1}^{1000} X_k$ 的分布 由于 $X_k$ 服从泊松分布 $\pi(0.1)$，我们有： \[ \mu = 0.1 \quad \text{和} \quad \sigma^2 = 0.1. \] 对于 $n = 1000$，随机变量 $S = \sum_{k=1}^{1000} X_k$ 的和近似服从均值为 $n\mu = 1000 \times 0.1 = 100$，方差为 $n\sigma^2 = 1000 \times 0.1 = 100$ 的正态分布。因此，标准差为 $\sqrt{100} = 10$。 所以，$S$ 近似服从 $N(100, 10^2)$。 ### 第三步：计算这本书的印刷错误字数不超过120的概率 我们需要找到 $P(S \leq 120)$。使用正态分布，我们首先将变量标准化： \[ P(S \leq 120) = P\left(\frac{S - 100}{10} \leq \frac{120 - 100}{10}\right) = P(Z \leq 2), \] 其中 $Z$ 是标准正态随机变量。从标准正态分布表中，我们发现： \[ P(Z \leq 2) \approx 0.9772. \] 因此，这本书的印刷错误字数不超过120的概率是： \[ \boxed{0.9772}. \]