题目

[题目]近年来,第五代移动通信系统5G已经成为-|||-通信业和学术界探讨的热点.为了更好适应5G系-|||-统,各大手机生产商加紧生产5G手机.而5G手机最-|||-重要的技术零件是5G芯片.某芯片生产商为了检验-|||-新生产的一批芯片的性能是否符合要求,在一天生-|||-产的过程中,检测员每隔4小时从某条生产线上随-|||-机抽取20个芯片进行检测,每天检测4次,并将抽检-|||-的芯片进行性能分析,由检测系统给出 -10 的评分-|||-(10分时性能最佳),根据长期的生产经验,可以认-|||-为这条生产线正常状态下生产的芯片的性能服从正-|||-态分布N (μ,σ^2)·-|||-(1)假设生产状态正常,记x表示某次抽检的性能评-|||-分在 (mu -30,mu +3sigma ) 外的芯片个数,求 (Xleqslant 1) 的值以及-|||-E(X);-|||-(2)在某时段抽检的零件中,如果出现了性能评分在-|||-(mu -30,mu +3sigma ) 外的芯片,就认为这条生产线在这一时-|||-段的生产过程中可能出现了异常情况,需对本时段-|||-生产的芯片进行逐一检测;如果连续两个时段的检-|||-测都出现异常,则需停止当天该生产线的生产.-|||-如表是检验员在某次检测中抽取的20个芯片的性能-|||-得分情况:-|||-8.4 88 85 93 93 72 81 92 108.7-|||-9.8 9.5 8.9 9. 8. 9.7 10 9 85 9.2-|||-计算可得 sum _(i=1)^20(x)_(i)=180, sqrt (dfrac {1)(20)sum _(i=1)^20(({x)_(i)-overline (x))}^2}approx 0.695, 其中x1为-|||-抽取的第i个芯片的性能评分, hat (z)=1, 2,3,...,20,-|||-用样本的平均数为μ的估计值,样本的标准差s-|||-作为σ的估计值.-|||-①利用估计值判断是否对这一时段的所有芯片进行-|||-检查?-|||-②求当天该生产线正常生产的概率?(小数点后精-|||-确30)-|||-附:若随机变量z服从正态分布N(μ,σ^2),则-|||-(mu -3sigma lt mu lt mu +3sigma )=0.9974 (0.9974)^19approx 0.9517,-|||-(0.9974)^20approx 0.9493 (0.370)^2approx 0.137 (0.630)^4approx 0.158 (0.630)^3approx 0.250-|||-(0.630)^3approx 0.397.

题目解答

答案

解析

题目考察知识和解题思路

本题主要考察正态分布、二项分布的概率计算及应用，具体包括：

  1. 二项分布概率与期望：利用正态分布的$3\sigma$原则确定单个芯片异常概率，进而判断抽检芯片异常个数服从二项分布，计算相关概率和期望。
  2. 样本估计总体：用样本均值估计总体均值$\mu$，样本标准差估计总体标准差$\sigma$，判断是否需检查时段芯片。
  3. 独立事件与连续异常概率：计算单次抽检异常概率，进一步分析一天内连续两次异常的概率，从而得到正常生产概率。

详细解答

(1) 求$P(X\leqslant 1)$及$E(X)$

  • 关键分析：正态分布$N(\mu,\sigma^2)$中，$P(\mu-3\sigma
  • 分布判断：每次抽检20个芯片，异常个数$X\sim B(20,0.0026)$（二项分布）。
  • 概率计算：
    $P(X\leqslant1)=P(X=0)+P(X=1)$
    $=C_{20}^0\cdot0.0026^0\cdot0.9974^{20}+C_{20}^1\cdot0.0026^1\cdot0.9974^{19}$
    $\approx0.9493+20\times0.0026\times0.9517\approx0.9988$。
  • 期望计算：$E(X)=np=20\times0.0026=0.052$。

(2) ① 判断是否需检查时段芯片

  • 样本估计：样本均值$\overline{x}=\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}x_i=9$（$\mu$的估计值），样本标准差$s\approx0.695$（$\sigma$的估计值）。
  • $3\sigma$区间：$\mu-3\sigma\approx9-3\times0.695=6.915$，$\mu+3\sigma\approx9+3\times0.695=11.085$。
  • 数据判断：所有芯片得分均在$($($(6.915,11.085)$内，无需检查。

(2) ② 求当天正常生产概率

  • 单次异常概率：设事件$A$为“单次抽检异常”，则$P(A)=1-P(X=0)=11-0.9974^{20}\approx1-0.9493=0.0507$。
  • 连续两次异常概率：一天4次检测，连续两次异常的情况有3种（第1-2次、2-3次、3-4次），每次概率为$[P(A)]^2[1-P(A)]^2$。
  • 总异常概率：$P(\text{停止})=3\times(0.0507)^2\times(0.9493)^2\approx0.007$。
  • 正常生产概率：$1-P(\text{停止})\approx1-0.007=0.993$。