题目
某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.利用中心极限定理，则被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值为____.(用小数表示)第1空：
某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.利用中心极限定理，则被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值为____.(用小数表示)
第1空：
题目解答
答案
设 $X$ 表示100个索赔户中因被盗索赔的户数，$X \sim B(100, 0.2)$。期望 $E(X) = 20$，方差 $D(X) = 16$。由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(20, 16)$。
标准化得：
\[
P(14 \le X \le 30) = P\left(-1.5 \le \frac{X-20}{4} \le 2.5\right) \approx \Phi(2.5) - \Phi(-1.5)
\]
查表得：
\[
\Phi(2.5) \approx 0.9938, \quad \Phi(-1.5) \approx 0.0668
\]
故：
\[
P(14 \le X \le 30) \approx 0.9938 - 0.0668 = 0.927
\]
**答案：** $\boxed{0.927}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设 $X$ 表示100个索赔户中因被盗索赔的户数，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.2)$。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $E(X) = np = 100 \times 0.2 = 20$，方差 $D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$。
步骤 3：利用中心极限定理
由中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$X$ 近似服从正态分布 $N(20, 16)$。
步骤 4：标准化
标准化得：\[ P(14 \le X \le 30) = P\left(\frac{14-20}{4} \le \frac{X-20}{4} \le \frac{30-20}{4}\right) = P\left(-1.5 \le \frac{X-20}{4} \le 2.5\right) \]
步骤 5：查标准正态分布表
查表得：\[ \Phi(2.5) \approx 0.9938, \quad \Phi(-1.5) \approx 0.0668 \]
步骤 6：计算概率
\[ P(14 \le X \le 30) \approx \Phi(2.5) - \Phi(-1.5) = 0.9938 - 0.0668 = 0.927 \]
设 $X$ 表示100个索赔户中因被盗索赔的户数，$X$ 服从二项分布 $B(100, 0.2)$。
步骤 2：计算期望和方差
期望 $E(X) = np = 100 \times 0.2 = 20$，方差 $D(X) = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$。
步骤 3：利用中心极限定理
由中心极限定理，当 $n$ 足够大时，$X$ 近似服从正态分布 $N(20, 16)$。
步骤 4：标准化
标准化得：\[ P(14 \le X \le 30) = P\left(\frac{14-20}{4} \le \frac{X-20}{4} \le \frac{30-20}{4}\right) = P\left(-1.5 \le \frac{X-20}{4} \le 2.5\right) \]
步骤 5：查标准正态分布表
查表得：\[ \Phi(2.5) \approx 0.9938, \quad \Phi(-1.5) \approx 0.0668 \]
步骤 6：计算概率
\[ P(14 \le X \le 30) \approx \Phi(2.5) - \Phi(-1.5) = 0.9938 - 0.0668 = 0.927 \]