题目
如图所示，两金属板间为真空，自由电荷面密度为0千，电压为 0千 ，电容为 0千，保持电量不变，一半空间充以相对介电常量为 0千的电介质，求 ：( 1 ) 两极板间的电场与电位移矢量的大小及分布 ; ( 2 ) 两极板间的电势差以及此电容器的电容；( 注：空气或真空介电常量记为 0千 )0千
如图所示，两金属板间为真空，自由电荷面密度为
，电压为 
，电容为 
，保持电量不变，一半空间充以相对介电常量为 
的电介质，求 ：
( 1 ) 两极板间的电场与电位移矢量的大小及分布 ;
( 2 ) 两极板间的电势差以及此电容器的电容；
( 注：空气或真空介电常量记为 
)
题目解答
答案
（1）
因为是金属板，所以为理想导体，其内部没有电场，金属板表面电场切向分量为0，只有电场的法向分量，同理电位移只有法向分量，没有切向分量。
在相对介电常量为的介质中：
没有介质：
根据电磁场的边界条件可得，
其中
为金属板表面的电荷面密度。
可得：
又因为极板上总电荷
可得：
解得
所以，
（填充介质），方向由上极板指向下极板
（没有填充介质），方向由上极板指向下极板
（2）
没填充介质前，根据第一问，，极板上总电荷，
可得：
所以：
根据公式：
，其中U是两极板间电压，d为两极板的距离
因为没有填充截止前，
，
所以
接着根据第一问求出的E，可得：
根据公式：
可得：
综上：两极板间电势差为
电容器的电容为：
解析
步骤 1：确定电位移矢量的大小及分布
因为是金属板，所以为理想导体，其内部没有电场，金属板表面电场切向分量为0，只有电场的法向分量，同理电位移只有法向分量，没有切向分量。
在相对介电常量为的介质中：
${D}_{1}={E}_{0}{\varepsilon }_{r}E$
没有介质：
${D}_{2}={E}_{0}E$
根据电磁场的边界条件可得，
$\overrightarrow {n}\cdot (\overrightarrow {D}-0)={p}_{s}$其中为金属板表面的电荷面密度。
可得：$D=\rho $
又因为极板上总电荷$I=\sum _{i=1}^{2}{\rho }_{{s}_{2}}{S}_{i}$
可得：$\dfrac {1}{2}{\varepsilon }_{0}ES+\dfrac {1}{2}{S}_{0}{S}_{n}$ ES=q
$\dfrac {1}{2}{\varepsilon }_{0}ES+\dfrac {1}{2}{S}_{0}{S}_{n}$ $ES={O}_{0}S$
解得${\Phi }_{0}$
所以，${D}_{1}=\dfrac {2{\sigma }_{0}{\varepsilon }_{r}}{1+{\varepsilon }_{r}}$（填充介质），方向由上极板指向下极板
${D}_{2}=\dfrac {2{\sigma }_{0}}{1+{\varepsilon }_{r}}$（没有填充介质），方向由上极板指向下极板
步骤 2：确定电场的大小及分布
没填充介质前，根据第一问，$D=\rho $，极板上总电荷$I=\sum _{i=1}^{2}{\rho }_{{s}_{2}}{S}_{i}$，
可得：${0}_{0}{v}_{0}S={v}_{0}s$
所以：${E}_{0}=\dfrac {{\sigma }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}$
步骤 3：计算两极板间的电势差
根据公式：$\dfrac {p}{n}=\square $，其中U是两极板间电压，d为两极板的距离
因为没有填充截止前，n=n，
所以$\dfrac {0.0}{0.30\Omega }=\dfrac {\overrightarrow {A}}{\overrightarrow {O}}=P$
接着根据第一问求出的E，可得：
$y=Ed=\dfrac {2{\sigma }_{0}}{{\varepsilon }_{0}+{\varepsilon }_{r}{\varepsilon }_{0}}\cdot \dfrac {{U}_{0}{E}_{0}}{{V}_{0}}=\dfrac {2{U}_{0}}{1+{\varepsilon }_{r}}$
步骤 4：计算电容器的电容
根据公式：$\dfrac {n}{b}=0$
可得：$C=\dfrac {{C}_{0}{U}_{0}}{\dfrac {2{U}_{0}}{1+{e}_{0}}}=\dfrac {{C}_{0}(1+{\varepsilon }_{r})}{2}$
因为是金属板，所以为理想导体，其内部没有电场，金属板表面电场切向分量为0，只有电场的法向分量，同理电位移只有法向分量，没有切向分量。
在相对介电常量为的介质中：
${D}_{1}={E}_{0}{\varepsilon }_{r}E$
没有介质：
${D}_{2}={E}_{0}E$
根据电磁场的边界条件可得，
$\overrightarrow {n}\cdot (\overrightarrow {D}-0)={p}_{s}$其中为金属板表面的电荷面密度。
可得：$D=\rho $
又因为极板上总电荷$I=\sum _{i=1}^{2}{\rho }_{{s}_{2}}{S}_{i}$
可得：$\dfrac {1}{2}{\varepsilon }_{0}ES+\dfrac {1}{2}{S}_{0}{S}_{n}$ ES=q
$\dfrac {1}{2}{\varepsilon }_{0}ES+\dfrac {1}{2}{S}_{0}{S}_{n}$ $ES={O}_{0}S$
解得${\Phi }_{0}$
所以，${D}_{1}=\dfrac {2{\sigma }_{0}{\varepsilon }_{r}}{1+{\varepsilon }_{r}}$（填充介质），方向由上极板指向下极板
${D}_{2}=\dfrac {2{\sigma }_{0}}{1+{\varepsilon }_{r}}$（没有填充介质），方向由上极板指向下极板
步骤 2：确定电场的大小及分布
没填充介质前，根据第一问，$D=\rho $，极板上总电荷$I=\sum _{i=1}^{2}{\rho }_{{s}_{2}}{S}_{i}$，
可得：${0}_{0}{v}_{0}S={v}_{0}s$
所以：${E}_{0}=\dfrac {{\sigma }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}$
步骤 3：计算两极板间的电势差
根据公式：$\dfrac {p}{n}=\square $，其中U是两极板间电压，d为两极板的距离
因为没有填充截止前，n=n，
所以$\dfrac {0.0}{0.30\Omega }=\dfrac {\overrightarrow {A}}{\overrightarrow {O}}=P$
接着根据第一问求出的E，可得：
$y=Ed=\dfrac {2{\sigma }_{0}}{{\varepsilon }_{0}+{\varepsilon }_{r}{\varepsilon }_{0}}\cdot \dfrac {{U}_{0}{E}_{0}}{{V}_{0}}=\dfrac {2{U}_{0}}{1+{\varepsilon }_{r}}$
步骤 4：计算电容器的电容
根据公式：$\dfrac {n}{b}=0$
可得：$C=\dfrac {{C}_{0}{U}_{0}}{\dfrac {2{U}_{0}}{1+{e}_{0}}}=\dfrac {{C}_{0}(1+{\varepsilon }_{r})}{2}$