15.修一台个人电脑的时间是一个随机变量,记为X(单位:小时),其密度为:-|||-f(x)= { ,0lt xlt 2 0, 计算修理一台个人电脑的平均花费。

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的期望计算以及期望的线性性质的应用。

解题核心思路：

1. 理解题目中的花费函数：修理花费为 $40 + 30\sqrt{x}$，其中 $x$ 是修理时间，服从均匀分布 $f(x) = \frac{1}{2}$（$0 < x < 2$）。
2. 利用期望的线性性质：将总花费分解为常数项和含 $\sqrt{x}$ 的项，分别计算期望后相加。
3. 计算 $\mathbb{E}[\sqrt{X}]$：通过积分 $\int_{0}^{2} \sqrt{x} \cdot f(x) \, dx$ 得到。

破题关键点：

• 正确应用期望公式：$\mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \, dx$，并注意积分区间为 $[0, 2]$。
• 简化计算：利用 $\mathbb{E}[a + bX] = a + b\mathbb{E}[X]$ 的线性性质，避免直接计算复杂积分。

步骤1：分解总花费的期望
总花费为 $40 + 30\sqrt{X}$，根据期望的线性性质：
$\mathbb{E}[40 + 30\sqrt{X}] = \mathbb{E}[40] + 30\mathbb{E}[\sqrt{X}].$

步骤2：计算常数项的期望
$\mathbb{E}[40] = 40$（常数的期望等于其本身）。

步骤3：计算 $\mathbb{E}[\sqrt{X}]$
根据定义：
$\mathbb{E}[\sqrt{X}] = \int_{0}^{2} \sqrt{x} \cdot f(x) \, dx = \int_{0}^{2} \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2} \, dx.$

步骤4：计算积分
积分 $\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2}$，代入上下限：
$\mathbb{E}[\sqrt{X}] = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot (2^{3/2} - 0) = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$

步骤5：代入总花费的期望
$\mathbb{E}[40 + 30\sqrt{X}] = 40 + 30 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 40 + 20\sqrt{2}.$