题目
如果X和Y满足D(X＋Y)=D(X－Y),则必有()。A. X与Y独立B. X与Y不相关C. D(Y)=0D. (X).D(Y)=0
如果X和Y满足D(X＋Y)=D(X－Y),则必有()。
A. X与Y独立
B. X与Y不相关
C. D(Y)=0
D. (X).D(Y)=0
题目解答
答案
B. X与Y不相关
解析
步骤 1：理解方差公式
方差公式为 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，其中 E(X) 表示随机变量 X 的期望值。对于两个随机变量 X 和 Y，D(X+Y) 和 D(X-Y) 可以分别表示为 D(X+Y) = E((X+Y)^2) - [E(X+Y)]^2 和 D(X-Y) = E((X-Y)^2) - [E(X-Y)]^2。
步骤 2：应用方差公式
根据方差的性质，D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) 和 D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)，其中 Cov(X,Y) 表示 X 和 Y 的协方差。题目中给出 D(X+Y) = D(X-Y)，代入上述公式得到 D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。
步骤 3：简化方程
从步骤 2 的方程中，可以简化得到 4Cov(X,Y) = 0，即 Cov(X,Y) = 0。协方差为零意味着 X 和 Y 不相关。
方差公式为 D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，其中 E(X) 表示随机变量 X 的期望值。对于两个随机变量 X 和 Y，D(X+Y) 和 D(X-Y) 可以分别表示为 D(X+Y) = E((X+Y)^2) - [E(X+Y)]^2 和 D(X-Y) = E((X-Y)^2) - [E(X-Y)]^2。
步骤 2：应用方差公式
根据方差的性质，D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) 和 D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)，其中 Cov(X,Y) 表示 X 和 Y 的协方差。题目中给出 D(X+Y) = D(X-Y)，代入上述公式得到 D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。
步骤 3：简化方程
从步骤 2 的方程中，可以简化得到 4Cov(X,Y) = 0，即 Cov(X,Y) = 0。协方差为零意味着 X 和 Y 不相关。