题目

28.填空题设X_(1),...,X_(10)及Y_(1),...,Y_(15)分别是总体N(20,6)的容量为10和15的两个独立样本，overline(X),overline(Y)分别为样本均值，S_(1)^2,S_(2)^2分别为样本方差，则Pmidoverline{X)-overline(Y)mid>1}=Phi(1)=0.8413。(答案用小数表示，保留两位小数)第1空：

28.填空题 设$X_{1},\cdots,X_{10}$及$Y_{1},\cdots,Y_{15}$分别是总体$N(20,6)$的容量为10和15的两个独立样本，$\overline{X},\overline{Y}$分别为样本均值，$S_{1}^{2},S_{2}^{2}$分别为样本方差，则 $P\{\mid\overline{X}-\overline{Y}\mid>1\}=\Phi(1)=0.8413$。 (答案用小数表示，保留两位小数) 第1空：

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要找到概率 $P\{ \mid \overline{X} - \overline{Y} \mid > 1 \}$。让我们一步步来分析。

  1. 确定样本均值的分布：

    • 样本 $X_1, X_2, \ldots, X_{10}$ 来自总体 $N(20, 6)$。样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(20, \frac{6}{10}\right) = N\left(20, 0.6\right)$。
    • 样本 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_{15}$ 来自总体 $N(20, 6)$。样本均值 $\overline{Y}$ 的分布为 $N\left(20, \frac{6}{15}\right) = N\left(20, 0.4\right)$。

  2. 确定样本均值差的分布：

    • 由于 $\overline{X}$ 和 $\overline{Y}$ 是独立的，差 $\overline{X} - \overline{Y}$ 的分布为 $N\left(20 - 20, 0.6 + 0.4\right) = N(0, 1)$。

  3. 计算概率 $P\{ \mid \overline{X} - \overline{Y} \mid > 1 \}$：

    • 概率 $P\{ \mid \overline{X} - \overline{Y} \mid > 1 \}$ 可以写为：
      $P\{ \mid \overline{X} - \overline{Y} \mid > 1 \} = P\{ \overline{X} - \overline{Y} > 1 \} + P\{ \overline{X} - \overline{Y} < -1 \}$
    • 由于 $\overline{X} - \overline{Y}$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$，我们有：
      $P\{ \overline{X} - \overline{Y} > 1 \} = 1 - \Phi(1)$
      $P\{ \overline{X} - \overline{Y} < -1 \} = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$
    • 因此：
      $P\{ \mid \overline{X} - \overline{Y} \mid > 1 \} = (1 - \Phi(1)) + (1 - \Phi(1)) = 2(1 - \Phi(1))$
    • 已知 $\Phi(1) = 0.8413$，我们得到：
      $P\{ \mid \overline{X} - \overline{Y} \mid > 1 \} = 2(1 - 0.8413) = 2 \times 0.1587 = 0.3174$

  4. 保留两位小数：

    • 概率 $0.3174$ 保留两位小数是 $0.32$。

因此，答案是 $\boxed{0.32}$。

解析

本题考查正态分布的性质以及样本均值分布的相关知识。解题的关键思路是先根据总体分布确定两个样本均值的分布，再利用独立正态分布的性质得到样本均值差的分布，最后根据标准正态分布的性质计算所求概率。

  1. 确定样本均值的分布：
    • 已知样本$X_1,X_2,\cdots,X_{10}$来自总体$N(20,6)$，根据样本均值的分布性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本容量为$n$，则样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。所以样本均值$\overline{X}$的分布为$N\left(20, \frac{6}{10}\right)=N(20, 0.6)$。
    • 同理，样本$Y_1,Y_2,\cdots,Y_{15}$来自总体$N(20,6)$，则样本均值$\overline{Y}$的分布为$N\left(20, \frac{6}{15}\right)=N(20, 0.4)$。
  2. 确定样本均值差的分布：
    • 因为$\overline{X}$和$\overline{Y}$相互独立，根据独立正态分布的性质，若$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且$X_1$与$X_2$独立，则$X_1 - X_2\sim N(\mu_1 - \mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$。所以$\overline{X}-\overline{Y}$的分布为$N(20 - 20, 0.6 + 0.4)=N(0, 1)$，即$\overline{X}-\overline{Y}$服从标准正态分布。
  3. 计算概率$P\{\mid\overline{X}-\overline{Y}\mid>1\}$：
    • 根据绝对值不等式的性质，$P\{\mid\overline{X}-\overline{Y}\mid>1\}=P\{\overline{X}-\overline{Y}>1\}+P\{\overline{X}-\overline{Y}<-1\}$。
    • 对于标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，其分布函数为$\varPhi(z)$，则$P\{Z > 1\}=1 - \varPhi(1)$，$P\{Z < -1\}=\varPhi(-1)$。又因为标准正态分布的对称性，$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi(-1)=1 - \varPhi(1)$。
    • 那么$P\{\mid\overline{X}-\overline{Y}\mid>1\}=(1 - \varPhi(1))+(1 - \varPhi(1)) = 2(1 - \varPhi(1))$。
    • 已知$\varPhi(1)=0.8413$，代入上式可得$P\{\mid\overline{X}-\overline{Y}\mid>1\}=2\times(1 - 0.8413)=2\times0.1587 = 0.3174$。
  4. 结果保留两位小数：
    • 按照四舍五入的原则，$0.3174$保留两位小数为$0.32$。