7.(简答题,7.1分)-|||-假设测量的随机误差 sim N(0,100), 试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率.

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算、二项分布的应用以及泊松近似的使用场景。

解题核心思路：

1. 确定单次事件概率：将误差绝对值大于19.6的事件转化为标准正态分布，计算其概率$p$。
2. 建立二项分布模型：100次独立测量中，事件发生的次数服从二项分布$Y \sim \text{Binomial}(n=100, p=0.05)$。
3. 计算累积概率：通过$P(Y \geq 3) = 1 - P(Y \leq 2)$，结合二项分布或泊松近似求解。

破题关键点：

• 标准化处理：将$X \sim N(0,100)$标准化为$Z = X/10$，简化概率计算。
• 泊松近似简化：当$n$较大且$p$较小时，用泊松分布（$\lambda = np = 5$）近似二项分布，简化计算。

步骤1：计算单次事件概率$p$

误差绝对值大于19.6的概率为：
$p = P(|X| > 19.6) = P\left(\left|\frac{X}{10}\right| > \frac{19.6}{10}\right) = P(|Z| > 1.96)$
查标准正态分布表得：
$P(|Z| > 1.96) = 2 \times P(Z > 1.96) = 2 \times 0.025 = 0.05$

步骤2：建立二项分布模型

设$Y$为100次测量中误差绝对值大于19.6的次数，则$Y \sim \text{Binomial}(n=100, p=0.05)$。

步骤3：计算$P(Y \geq 3)$

利用泊松近似（$\lambda = np = 5$）：
$P(Y \geq 3) = 1 - \left[P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)\right]$
其中：
$\begin{aligned}P(Y=0) &= e^{-5} \approx 0.0067, \\P(Y=1) &= e^{-5} \cdot \frac{5^1}{1!} \approx 0.0337, \\P(Y=2) &= e^{-5} \cdot \frac{5^2}{2!} \approx 0.0842.\end{aligned}$
累加得：
$P(Y \leq 2) \approx 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 = 0.1246$
最终概率为：
$P(Y \geq 3) = 1 - 0.1246 = 0.8754 \approx 0.875$