某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率.[附表](表中ϕ(x)是标准正态分布函数)-|||-x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-|||-ϕ(x) 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布函数的应用。解题的关键思路是先根据已知条件求出正态分布的标准差$\sigma$，再将所求区间$[60, 84]$转化为标准正态分布的区间，最后利用标准正态分布函数表计算概率。

1. 确定正态分布的参数：
   • 已知考生的外语成绩$X$近似服从正态分布$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，且平均成绩$\mu = 72$。
2. 计算标准差$\sigma$：
   • 已知$96$分以上的占考生总数的$2.3\%$，即$P(X\gt 96)=0.023$。
   • 根据正态分布的性质，$P(X\gt 96)=1 - P(X\leqslant 96)$，又因为$P(X\leqslant 96)=P\left(\dfrac{X - \mu}{\sigma}\leqslant \dfrac{96 - 72}{\sigma}\right)=P\left(\dfrac{X - \mu}{\sigma}\leqslant \dfrac{24}{\sigma}\right)$，令$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$，则$Z\sim N(0,1)$，所以$P(X\leqslant 96)=\varPhi\left(\dfrac{24}{\sigma}\right)$。
   • 那么$1 - \varPhi\left(\dfrac{24}{\sigma}\right)=0.023$，移项可得$\varPhi\left(\dfrac{24}{\sigma}\right)=1 - 0.023 = 0.977$。
   • 查标准正态分布函数表，可知当$\varPhi(x)=0.977$时，$x = 2$，所以$\dfrac{24}{\sigma}=2$，解得$\sigma = 12$。
   • 此时$X\sim N(72,12^{2})$。
3. 计算$P(60\leqslant X\leqslant 84)$：
   • 对$P(60\leqslant X\leqslant 84)$进行标准化，$P(60\leqslant X\leqslant 84)=P\left(\dfrac{60 - 72}{12}\leqslant \dfrac{X - \mu}{\sigma}\leqslant \dfrac{84 - 72}{12}\right)=P\left(-1\leqslant \dfrac{X - \mu}{\sigma}\leqslant 1\right)$。
   • 令$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$，则$Z\sim N(0,1)$，所以$P\left(-1\leqslant \dfrac{X - \mu}{\sigma}\leqslant 1\right)=P(-1\leqslant Z\leqslant 1)$。
   • 根据标准正态分布的性质$P(-1\leqslant Z\leqslant 1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)$，又因为$\varPhi(-x)=1 - \varPhi(x)$，所以$\varPhi(-1)=1 - \varPhi(1)$，则$P(-1\leqslant Z\leqslant 1)=\varPhi(1)-(1 - \varPhi(1))=2\varPhi(1)-1$。
   • 查标准正态分布函数表，$\varPhi(1)=0.841$，所以$P(60\leqslant X\leqslant 84)=2\times 0.841 - 1 = 0.682$。