题目
3.(2015,Ⅲ)设总体 approx B(m,theta ), X1,X2,···,Xn为来自该总体的简-|||-单随机样本,X为样本均值,则 [ sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2] = () .-|||-(A) (m-1)no(1-theta ) (B) (n-1)theta (1-theta )-|||-(C) (m-1)(n-1)theta (1-theta ) (D) theta (1-theta )
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题
题目要求计算 $E[ \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}]$，其中 $X_i$ 是来自二项分布 $B(m, \theta)$ 的简单随机样本，$\overline{X}$ 是样本均值。我们需要利用样本方差的性质来解决这个问题。
步骤 2：利用样本方差的性质
我们知道，对于一个随机变量 $X$，其方差 $Var(X)$ 可以表示为 $E[(X - E[X])^2]$。对于样本方差 $S^2$，有 $E[S^2] = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$。因此，$E[ \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}] = (n-1)E[S^2]$。
步骤 3：计算样本方差的期望
由于 $X_i \sim B(m, \theta)$，我们知道 $E[X_i] = m\theta$ 和 $Var(X_i) = m\theta(1-\theta)$。因此，$E[S^2] = Var(X_i) = m\theta(1-\theta)$。所以，$E[ \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}] = (n-1)m\theta(1-\theta)$。
题目要求计算 $E[ \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}]$，其中 $X_i$ 是来自二项分布 $B(m, \theta)$ 的简单随机样本，$\overline{X}$ 是样本均值。我们需要利用样本方差的性质来解决这个问题。
步骤 2：利用样本方差的性质
我们知道，对于一个随机变量 $X$，其方差 $Var(X)$ 可以表示为 $E[(X - E[X])^2]$。对于样本方差 $S^2$，有 $E[S^2] = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2$。因此，$E[ \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}] = (n-1)E[S^2]$。
步骤 3：计算样本方差的期望
由于 $X_i \sim B(m, \theta)$，我们知道 $E[X_i] = m\theta$ 和 $Var(X_i) = m\theta(1-\theta)$。因此，$E[S^2] = Var(X_i) = m\theta(1-\theta)$。所以，$E[ \sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}] = (n-1)m\theta(1-\theta)$。