lim_(xtoinfty)(3x^2+1)/(x^2)-x=_;lim_(xtoinfty)(10x^3+7)/(5x^3)-x+1=_;lim_(xtoinfty)(x^3-3)/(x^3)-x+1=_;

本题主要考查当$x\to\infty$时，分式函数极限的计算。解题的关键思路是通过分子分母同时除以分母中$x$的最高次幂，将原式转化为可以利用常见极限$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^n}=0$（$n\gt0$）来计算的形式。

第一题：计算$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+1}{x^{2}-x}$

• 步骤一：确定分母中$x$的最高次幂为$2$，将分子分母同时除以$x^2$。
  根据分式的性质$\frac{a+b}{c+d}=\frac{\frac{a}{m}+\frac{b}{m}}{\frac{c}{m}+\frac{d}{m}}$（$m\neq0$），可得：
  $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 1}{x^2 - x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{x}{x^2}}=\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}}$
• 步骤二：利用常见极限$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^n}=0$（$n\gt0$）计算极限。
  $\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^2})}{\lim_{x \to \infty}(1 - \frac{1}{x})}=\frac{\lim_{x \to \infty}3 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2}}{\lim_{x \to \infty}1 - \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}}=\frac{3 + + + 0}{1 - 0} = 3$

第二题：计算$\lim_{x\to\infty}\frac{10x^{3}+7}{5x^{3}-x+1}$

• 步骤一：确定分母中$x$的最高次幂为$3$，将分子分母同时除以$x^3$。
  同理可得：
  $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^3 + 7}{5x^3 - x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10x^3}{x^3} + \frac{7}{x^3}}{\frac{5x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}=\lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{7}{x^3}}{5 - \frac{1}{x^^2} + \frac{1}{x^3}}$
• 步骤二：利用常见极限$\lim_{x\to\}\\frac{1}{x^n}=0$（$n\gt0$）计算极限。
  $\lim_{x \ \to \infty} \frac{10 + \frac{7}{x^3}}{5 - \frac{1}{x^2} + + \frac{1}{x^3}} = \frac{\lim_{x \to \infty}(10 + \frac{7}{x^3})}{\lim_{x \to \infty}(5 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3})}=\frac{\lim_{x \to \infty}10 + \lim_{x \to \infty}\frac{7}{x^3}}{\lim_{x \to \infty}5 - \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^3}}=\frac{10 + 0}{5 - 0 + 0} = 2$

第三题：计算$\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-3}{x^{3}-x+1}$

• 步骤一：确定分母中$x$的最高次幂为$3$，将分子分母同时除以$x^3$。
  同理可得：
  $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - 3}{x^3 - x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3} - \frac{3}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} - \frac{x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}=\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x^3}}{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$
• 步骤二：利用常见极限$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^n}=0$（$n\gt0$）计算极限。
  $\lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x^3}}{1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \frac{\lim_{x \to \infty}(1 - \frac{3}{x^3})}{\lim_{x \to \infty}(1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3})}=\frac{\lim_{x \to \infty}1 - \lim_{x \to \infty}\frac{3}{x^3}}{\lim_{x \to \infty}1 - \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2} + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^3}}=\frac{1 - 0}{1 - 0 + 0} = 1$