题目
6-3 X_(1),X_(2),...,X_(n),X_(n+1)是来自总体N(mu,sigma^2)的样本，其中overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)，试讨论aoverline(X)+bX_(n+1)和aoverline(X)+bX_(n)的分布，其中a,b均为不为0的常数.
6-3 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},X_{n+1}$是来自总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，其中$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，试讨论$a\overline{X}+bX_{n+1}$和$a\overline{X}+bX_{n}$的分布，其中a,b均为不为0的常数.
题目解答
答案
1. **确定 $\overline{X}$ 的分布**：
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，
$E(\overline{X}) = \mu$，
$D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$，
故 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
2. **$a\overline{X} + bX_{n+1}$ 的分布**：
$X_{n+1} \sim N(\mu, \sigma^2)$，与 $\overline{X}$ 独立，
$E(a\overline{X} + bX_{n+1}) = (a + b)\mu$，
$D(a\overline{X} + bX_{n+1}) = \left(\frac{a^2}{n} + b^2\right)\sigma^2$，
故服从 $N\left((a + b)\mu, \left(\frac{a^2}{n} + b^2\right)\sigma^2\right)$。
3. **$a\overline{X} + bX_n$ 的分布**：
$a\overline{X} + bX_n = \frac{a}{n} \sum_{i=1}^{n-1} X_i + \left(\frac{a}{n} + b\right)X_n$，
$E(a\overline{X} + bX_n) = (a + b)\mu$，
$D(a\overline{X} + bX_n) = \left(\frac{a^2}{n} + b^2 + \frac{2ab}{n}\right)\sigma^2$，
故服从 $N\left((a + b)\mu, \left(\frac{a^2}{n} + b^2 + \frac{2ab}{n}\right)\sigma^2\right)$。
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
a\overline{X} + bX_{n+1} \sim N\left((a + b)\mu, \left(\frac{a^2}{n} + b^2\right)\sigma^2\right), \\
a\overline{X} + bX_n \sim N\left((a + b)\mu, \left(\frac{a^2}{n} + b^2 + \frac{2ab}{n}\right)\sigma^2\right).
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：确定 $\overline{X}$ 的分布
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其中 $X_i$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。因此，$\overline{X}$ 的期望值 $E(\overline{X}) = \mu$，方差 $D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。所以，$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
步骤 2：$a\overline{X} + bX_{n+1}$ 的分布
$X_{n+1}$ 也是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，且与 $\overline{X}$ 独立。因此，$a\overline{X} + bX_{n+1}$ 的期望值 $E(a\overline{X} + bX_{n+1}) = aE(\overline{X}) + bE(X_{n+1}) = (a + b)\mu$，方差 $D(a\overline{X} + bX_{n+1}) = a^2D(\overline{X}) + b^2D(X_{n+1}) = \left(\frac{a^2}{n} + b^2\right)\sigma^2$。所以，$a\overline{X} + bX_{n+1} \sim N\left((a + b)\mu, \left(\frac{a^2}{n} + b^2\right)\sigma^2\right)$。
步骤 3：$a\overline{X} + bX_n$ 的分布
$a\overline{X} + bX_n = \frac{a}{n} \sum_{i=1}^{n-1} X_i + \left(\frac{a}{n} + b\right)X_n$。$X_n$ 也是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，且与 $\overline{X}$ 不独立。因此，$a\overline{X} + bX_n$ 的期望值 $E(a\overline{X} + bX_n) = aE(\overline{X}) + bE(X_n) = (a + b)\mu$，方差 $D(a\overline{X} + bX_n) = a^2D(\overline{X}) + b^2D(X_n) + 2ab\text{Cov}(\overline{X}, X_n) = \left(\frac{a^2}{n} + b^2 + \frac{2ab}{n}\right)\sigma^2$。所以，$a\overline{X} + bX_n \sim N\left((a + b)\mu, \left(\frac{a^2}{n} + b^2 + \frac{2ab}{n}\right)\sigma^2\right)$。
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$，其中 $X_i$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本。因此，$\overline{X}$ 的期望值 $E(\overline{X}) = \mu$，方差 $D(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$。所以，$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$。
步骤 2：$a\overline{X} + bX_{n+1}$ 的分布
$X_{n+1}$ 也是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，且与 $\overline{X}$ 独立。因此，$a\overline{X} + bX_{n+1}$ 的期望值 $E(a\overline{X} + bX_{n+1}) = aE(\overline{X}) + bE(X_{n+1}) = (a + b)\mu$，方差 $D(a\overline{X} + bX_{n+1}) = a^2D(\overline{X}) + b^2D(X_{n+1}) = \left(\frac{a^2}{n} + b^2\right)\sigma^2$。所以，$a\overline{X} + bX_{n+1} \sim N\left((a + b)\mu, \left(\frac{a^2}{n} + b^2\right)\sigma^2\right)$。
步骤 3：$a\overline{X} + bX_n$ 的分布
$a\overline{X} + bX_n = \frac{a}{n} \sum_{i=1}^{n-1} X_i + \left(\frac{a}{n} + b\right)X_n$。$X_n$ 也是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的样本，且与 $\overline{X}$ 不独立。因此，$a\overline{X} + bX_n$ 的期望值 $E(a\overline{X} + bX_n) = aE(\overline{X}) + bE(X_n) = (a + b)\mu$，方差 $D(a\overline{X} + bX_n) = a^2D(\overline{X}) + b^2D(X_n) + 2ab\text{Cov}(\overline{X}, X_n) = \left(\frac{a^2}{n} + b^2 + \frac{2ab}{n}\right)\sigma^2$。所以，$a\overline{X} + bX_n \sim N\left((a + b)\mu, \left(\frac{a^2}{n} + b^2 + \frac{2ab}{n}\right)\sigma^2\right)$。