随机抽取 100 名高一学生做两题奥数题，两题都通过的有 55 人，第一题通过而第二题为通过的有 5 人；第二题通过而第一题为通过的有 15 人；两题都未通过的有 25 人。问欲检验第一题是否比第二题容易，该用何种统计检验的方法？A. t 检验B. u 检验C. χ2 检验

考查要点：本题主要考查统计检验方法的选择，需要根据数据类型和研究目的判断适用的检验方法。

解题核心思路：

1. 明确数据类型：题目给出的是分类数据（通过/未通过），属于二元变量。
2. 确定研究目标：比较第一题和第二题的通过率是否存在显著差异，即检验两题的难度是否不同。
3. 选择检验方法：
   • t检验和u检验适用于连续数据的均值比较，而本题是比例（通过率）的比较。
   • χ²检验用于检验分类变量的独立性，但题目直接要求比较两个比例的差异，因此更直接的方法是u检验（Z检验）。

破题关键点：

• 区分检验方法的适用场景：比例比较用Z检验，独立性检验用χ²检验。
• 计算通过率：第一题通过率为$\frac{60}{100}$，第二题通过率为$\frac{70}{100}$，需判断两者差异是否显著。

数据整理

• 第一题通过人数：两题都通过（55人） + 第一题通过第二题未通过（5人） = 60人
• 第二题通过人数：两题都通过（55人） + 第二题通过第一题未通过（15人） = 70人
• 总样本量：100人

检验方法选择

1. 研究目标：比较两题的通过率（比例）是否存在显著差异。
2. 适用方法：
   • u检验（Z检验）适用于两个独立样本比例的比较，公式为：
     $Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}} }$
     其中$\hat{p}_1 = 0.6$，$\hat{p}_2 = 0.7$，$\hat{p} = \frac{60+70}{200} = 0.65$。
   • χ²检验虽可分析列联表，但需通过卡方值间接推断关联性，不如Z检验直接。

排除干扰项

• t检验需正态分布且方差已知，适用于均值比较，不适用比例。
• χ²检验适用于独立性检验，但题目明确要求比较难度（比例差异），故非最优解。