题目
设n阶方阵A经过初等变换后得方阵B,则( )A. |A|=|B|B. |A|≠|B|C. |A||B|≥0D. 若|A|=0,则|B|=0
设n阶方阵A经过初等变换后得方阵B,则( )
A. |A|=|B|
B. |A|≠|B|
C. |A||B|≥0
D. 若|A|=0,则|B|=0
题目解答
答案
D. 若|A|=0,则|B|=0
解析
步骤 1:理解初等变换对行列式的影响
初等变换包括三种类型:交换两行(或列),某一行(或列)乘以一个非零常数,某一行(或列)加上另一行(或列)的倍数。其中,交换两行(或列)会改变行列式的符号,某一行(或列)乘以一个非零常数会改变行列式的值,但某一行(或列)加上另一行(或列)的倍数不会改变行列式的值。
步骤 2:分析选项
A. |A|=|B|:初等变换可能改变行列式的值,因此这个选项不正确。
B. |A|≠|B|:虽然初等变换可能改变行列式的值,但并不总是如此,因此这个选项也不正确。
C. |A||B|≥0:这个选项没有直接关系,因为初等变换可能使行列式的值变为正或负,因此这个选项不正确。
D. 若|A|=0,则|B|=0:如果|A|=0,说明A是奇异矩阵,即A的行(或列)向量线性相关。初等变换不会改变矩阵的秩,因此B也是奇异矩阵,即|B|=0。这个选项正确。
初等变换包括三种类型:交换两行(或列),某一行(或列)乘以一个非零常数,某一行(或列)加上另一行(或列)的倍数。其中,交换两行(或列)会改变行列式的符号,某一行(或列)乘以一个非零常数会改变行列式的值,但某一行(或列)加上另一行(或列)的倍数不会改变行列式的值。
步骤 2:分析选项
A. |A|=|B|:初等变换可能改变行列式的值,因此这个选项不正确。
B. |A|≠|B|:虽然初等变换可能改变行列式的值,但并不总是如此,因此这个选项也不正确。
C. |A||B|≥0:这个选项没有直接关系,因为初等变换可能使行列式的值变为正或负,因此这个选项不正确。
D. 若|A|=0,则|B|=0:如果|A|=0,说明A是奇异矩阵,即A的行(或列)向量线性相关。初等变换不会改变矩阵的秩,因此B也是奇异矩阵,即|B|=0。这个选项正确。