题目

1. 某医院针对咳嗽患者进行肺结核检测。定义事件：- A: 患者实际患有肺结核；- overline(A): 患者未患肺结核；- B: 检测结果为阳性；- overline(B): 检测结果为阴性。已知：- 患病率 mathrm(P)(A)=0.01；- 检测灵敏度 mathrm(P)(B|A)=0.95；- 检验特异度 mathrm(P)(overline(B)|overline(A))=0.90，因此 mathrm(P)(B|overline(A))=0.1。问题：- (1) 若某患者检测结果为阳性，求该患者实际患肺结核的概率 mathrm(P)(A|B)。- (2) 若连续两次检测结果均为阳性，且两次检测在给定真实状态下相互独立，求 mathrm(P)(A|B1 cap B2)。提示：使用贝叶斯公式[ mathrm(P)(A|B) = (mathrm(P)(B|A) mathrm(P)(A))/(mathrm(P)(B|A) mathrm{P)(A) + mathrm(P)(B|overline(A)) mathrm(P)(overline(A))} ]2. 某工厂生产的金属零件直径服从正态分布 N(mu, sigma^2)。从生产线上随机抽取了 16 个零件，测得样本均值为 10.2 , (mm)，样本标准差为 0.4 , (mm)。问题：- (1) 估计总体平均直径的 95% 置信区间。- (2) 若允许误差不超过 pm0.1 , (mm)，置信水平 95%，应至少抽取多少个样本？常用临界值（自由度 df=15）：- 90%: t=1.753，95%: t=2.131，98%: t=2.602，99%: t=2.947。3. 某饮料厂宣称每瓶饮料的平均含糖量为 10 克。随机抽取 25 瓶样本，样本均值 9.8 克，样本标准差 0.5 克。假设含糖量服从正态分布。问题：- (1) 在显著性水平 alpha=0.05 下，检验该厂的宣传是否可信？- (2) 写出原假设 mathrm(H)_0 与备择假设 mathrm(H)_1，并说明检验类型。常用临界值（自由度 df=24）：- 90%: t=1.711，95%: t=2.064，98%: t=2.492，99%: t=2.797。

1. 某医院针对咳嗽患者进行肺结核检测。定义事件： - A: 患者实际患有肺结核； - $\overline{A}$: 患者未患肺结核； - B: 检测结果为阳性； - $\overline{B}$: 检测结果为阴性。已知： - 患病率 $\mathrm{P}(A)=0.01$； - 检测灵敏度 $\mathrm{P}(B|A)=0.95$； - 检验特异度 $\mathrm{P}(\overline{B}|\overline{A})=0.90$，因此 $\mathrm{P}(B|\overline{A})=0.1$。问题： - (1) 若某患者检测结果为阳性，求该患者实际患肺结核的概率 $\mathrm{P}(A|B)$。 - (2) 若连续两次检测结果均为阳性，且两次检测在给定真实状态下相互独立，求 $\mathrm{P}(A|B1 \cap B2)$。提示：使用贝叶斯公式 $\mathrm{P}(A|B) = \frac{\mathrm{P}(B|A) \mathrm{P}(A)}{\mathrm{P}(B|A) \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B|\overline{A}) \mathrm{P}(\overline{A})}$ 2. 某工厂生产的金属零件直径服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$。从生产线上随机抽取了 $16$ 个零件，测得样本均值为 $10.2 \, \text{mm}$，样本标准差为 $0.4 \, \text{mm}$。问题： - (1) 估计总体平均直径的 $95\%$ 置信区间。 - (2) 若允许误差不超过 $\pm0.1 \, \text{mm}$，置信水平 $95\%$，应至少抽取多少个样本？常用临界值（自由度 $df=15$）： - $90\%$: $t=1.753$，$95\%$: $t=2.131$，$98\%$: $t=2.602$，$99\%$: $t=2.947$。 3. 某饮料厂宣称每瓶饮料的平均含糖量为 $10$ 克。随机抽取 $25$ 瓶样本，样本均值 $9.8$ 克，样本标准差 $0.5$ 克。假设含糖量服从正态分布。问题： - (1) 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，检验该厂的宣传是否可信？ - (2) 写出原假设 $\mathrm{H}_0$ 与备择假设 $\mathrm{H}_1$，并说明检验类型。常用临界值（自由度 $df=24$）： - $90\%$: $t=1.711$，$95\%$: $t=2.064$，$98\%$: $t=2.492$，$99\%$: $t=2.797$。

题目解答

答案

1. (1) $ P(A|B) = \frac{0.95 \times 0.01}{0.1085} \approx 0.088 $ (2) $ P(A|B_1 \cap B_2) = \frac{0.9025 \times 0.01}{0.018925} \approx 0.477 $ 2. (1) 95% 置信区间：$ (9.9869, 10.4131) $ (2) 最少样本数：64 3. (1) 原假设 $ H_0 $：$ \mu = 10 $，备择假设 $ H_1 $：$ \mu \neq 10 $ 检验结果： fail to reject $ H_0 $，宣传可信 (2) 检验类型：双尾检验 \[ \boxed{ \begin{array}{ccc} \text{1. (1) } 0.088 & \text{(2) } 0.477 \\ \text{2. (1) } (9.9869, 10.4131) & \text{(2) } 64 \\ \text{3. (1) } \text{可信} & \text{(2) } H_0: \mu = 10, H_1: \mu \neq 10, \text{双尾} \end{array} } \]