一篮球运动员投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并写出X取偶数的概率.

考查要点：本题主要考查几何分布的概率计算以及无穷等比数列求和的应用。

解题核心思路：

1. 几何分布：首次成功所需的试验次数服从几何分布，概率质量函数为$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$，其中$p$为成功概率。
2. 偶数概率求和：将所有偶数次投篮命中的概率相加，转化为等比数列求和问题，利用公式$\sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = \frac{a}{1-r}$（$|r|<1$）求解。

破题关键点：

• 识别几何分布：明确题目中“首次命中”的描述对应几何分布。
• 偶数项求和技巧：通过变量替换$k=2m$，将偶数项转化为等比数列求和。

分布律推导

1. 几何分布定义：运动员每次投篮独立，命中概率$p=0.45$，不中概率$q=1-p=0.55$。
2. 首次命中在第$k$次：前$k-1$次均不中，第$k$次命中，概率为：
   $P(X=k) = q^{k-1} \cdot p = 0.55^{k-1} \cdot 0.45 \quad (k=1,2,\ldots)$

偶数概率计算

1. 偶数项求和：$X$取偶数的概率为：
   $P(X \text{为偶数}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k) = \sum_{k=1}^{\infty} 0.55^{2k-1} \cdot 0.45$
2. 提取公比：将级数变形为等比数列形式：
   $\sum_{k=1}^{\infty} 0.55^{2k-1} \cdot 0.45 = 0.45 \cdot 0.55 \sum_{k=1}^{\infty} (0.55^2)^{k-1}$
3. 等比数列求和：首项$a=0.45 \cdot 0.55$，公比$r=0.55^2=0.3025$，和为：
   $\frac{0.45 \cdot 0.55}{1 - 0.55^2} = \frac{0.2475}{0.6975} = \frac{11}{31}$