题目
一篮球运动员投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并写出X取偶数的概率.
一篮球运动员投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并写出X取偶数的概率.
题目解答
答案
$$P(X=k)=0.55^{k-1}\times 0.45$$(k=1,2,...)
$$P(X取偶数)=\sum_{k=1}^{\infty }P(X=2k)$$=$$\sum_{k=1}^{\infty }0.55^{2k-1}\times 0.45$$
=$$0.45\times \lim_{k \rightarrow \infty } \frac{0.55(1-0.55^{2k})}{1-0.55^2}$$
=$$0.45\times \frac{0.55}{1-0.55^2}$$=$$\frac{11}{31}$$
解析
步骤 1：确定X的分布律
篮球运动员首次投中时累计已投篮的次数X是一个几何分布，因为每次投篮是独立的，且每次投篮的命中率是固定的。几何分布的概率质量函数为：
$$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$$
其中，p是每次投篮的命中率，k是首次投中的次数。对于本题，p=0.45，因此：
$$P(X=k) = 0.55^{k-1} \times 0.45$$
步骤 2：计算X取偶数的概率
X取偶数的概率是所有偶数k的概率之和，即：
$$P(X取偶数) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k)$$
将k替换为2k，代入分布律：
$$P(X取偶数) = \sum_{k=1}^{\infty} 0.55^{2k-1} \times 0.45$$
步骤 3：求和
这是一个等比数列求和问题，其中首项为0.55^1 * 0.45，公比为0.55^2。利用等比数列求和公式：
$$\sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = \frac{a}{1-r}$$
其中，a=0.55 * 0.45，r=0.55^2。因此：
$$P(X取偶数) = 0.45 \times \frac{0.55}{1-0.55^2}$$
步骤 4：计算最终结果
$$P(X取偶数) = 0.45 \times \frac{0.55}{1-0.55^2} = \frac{11}{31}$$
篮球运动员首次投中时累计已投篮的次数X是一个几何分布，因为每次投篮是独立的，且每次投篮的命中率是固定的。几何分布的概率质量函数为：
$$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$$
其中，p是每次投篮的命中率，k是首次投中的次数。对于本题，p=0.45，因此：
$$P(X=k) = 0.55^{k-1} \times 0.45$$
步骤 2：计算X取偶数的概率
X取偶数的概率是所有偶数k的概率之和，即：
$$P(X取偶数) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k)$$
将k替换为2k，代入分布律：
$$P(X取偶数) = \sum_{k=1}^{\infty} 0.55^{2k-1} \times 0.45$$
步骤 3：求和
这是一个等比数列求和问题，其中首项为0.55^1 * 0.45，公比为0.55^2。利用等比数列求和公式：
$$\sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = \frac{a}{1-r}$$
其中，a=0.55 * 0.45，r=0.55^2。因此：
$$P(X取偶数) = 0.45 \times \frac{0.55}{1-0.55^2}$$
步骤 4：计算最终结果
$$P(X取偶数) = 0.45 \times \frac{0.55}{1-0.55^2} = \frac{11}{31}$$